natuurlijke getallen • Z

Getallenverzamelingen:
• N = {1, 2, 3, . . .} natuurlijke getallen
• Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} gehele getallen
• Q = { nt | t ∈ Z, n ∈ N} rationale getallen
• R reële getallen
• C complexe getallen
1
Definitie: Zij V en W verzamelingen. f : V −→ W heet een functie als
aan alle x ∈ V een uniek element f (x) ∈ W wordt toegevoegd.
Domein: verzameling waarop f gedefinieerd is.
Bereik: verzameling van alle beelden.
2
Wat is een limiet van een functie?
Als f (x) voor alle x in de buurt van a gedefinieerd is (mogelijk met
uitzondering van a zelf), en als f (x) willekeurig dicht bij L komt te liggen
als x dicht genoeg bij a ligt, dan is L de limiet van f voor x naar a:
lim f (x) = L.
x→a
Formele definitie van limiet:
De functie f nadert naar de limietwaarde L als x nadert tot a, d.w.z.
lim f (x) = L,
x→a
als voor ieder getal ε > 0 er een getal δ > 0 bestaat (δ afhankelijk van ε),
zó dat
0 < |x − a| < δ impliceert dat |f (x) − L| < ε.
3
Rekenregels voor limieten
Veronderstel dat limx→a f (x) = L en limx→a g(x) = M , en zij k ∈ R.
Dan geldt:
• Som: limx→a [f (x) + g(x)] = L + M ,
• Verschil: limx→a [f (x) − g(x)] = L − M ,
• Product: limx→a [f (x) · g(x)] = L · M ,
• Scalaire vermenigvuldiging: limx→a [k · f (x)] = k · L,
• Quotiënt: limx→a
f (x)
g(x)
=
L
M,
mits M 6= 0,
• Machtsverheffen: limx→a [f (x)]m/n = Lm/n , mits L > 0 als n even
is, en L 6= 0 als m < 0.
4
Limieten van polynomen en rationale functies:
(1) Als p(x) een polynoom is, en a ∈ R, dan
lim p(x) = p(a).
x→a
(2) Als p(x) en q(x) polynomen zijn, en q(a) 6= 0, dan
p(a)
p(x)
=
.
x→a q(x)
q(a)
lim
5
Eigenschap: Zij limx→a f (x) = L en limx→a g(x) = M , en veronderstel
dat voor alle x in een open interval dat a bevat, geldt f (x) ≤ g(x), dan
L ≤ M.
Insluitstelling:
Zij I een open interval dat a bevat. Veronderstel dat voor alle x ∈ I\{a},
geldt dat f (x) ≤ g(x) ≤ h(x). Als
lim f (x) = lim h(x) = L,
x→a
x→a
dan
lim g(x) = L.
x→a
6
Limieten naar oneindig
Als de functie f gedefinieerd is op (a, ∞), en f (x) komt willekeurig dicht
bij L wanneer x groot genoeg gekozen wordt, dan is L de limiet van f als
x nadert tot oneindig:
lim f (x) = L.
x→∞
De lijn y = L is dan een horizontale asymptoot van de grafiek van f .
Formele definitie:
De functie f nadert naar de limietwaarde L als x nadert tot oneindig, d.w.z.
lim f (x) = L,
x→∞
als voor ieder getal ε > 0 er een getal R > 0 bestaat (R afhankelijk van ε),
zó dat
x > R impliceert dat |f (x) − L| < ε.
7
Oneindige limieten
Indien een functie in de buurt van een zekere waarde van x onbeperkt
groot wordt, dan wordt dit soms een oneindige limiet genoemd. Het is
echter geen limiet in de strikte betekenis.
Formele definitie:
De functie f nadert naar oneindig als x nadert tot a, d.w.z.
lim f (x) = ∞,
x→a
als voor ieder getal B > 0 er een getal δ > 0 bestaat (δ afhankelijk van B),
zó dat
0 < |x − a| < δ impliceert dat f (x) > B.
De lijn x = a is dan een verticale asymptoot van f .
8
Definitie continuı̈teit:
Een functie f is continu in een inwendig punt c van zijn domein als
lim f (x) = f (c).
x→c
Als de limiet niet bestaat, dan is f discontinu in c.
Als de limiet wel bestaat, maar niet gelijk is aan f (c), dan is f discontinu
in c.
f is rechts-continu in c als limx↓c f (x) = f (c),
f is links-continu in c als limx↑c f (x) = f (c).
f is continu op het interval I als f continu is in ieder punt van I. f is een
continue functie als f continu is op zijn domein.
9
Voorbeelden van continue functies:
• Alle polynomen,
• Alle rationale functies (let op: deze zijn continu op hun domein),
√
m/n
= n xm ,
• Alle rationale machten x
• De goniometrische functies sin, cos en tan,
• De logaritme en de exponentiële functie,
• De absolute waarde functie f (x) = |x|.
Let op: som en verschil, product en quotiënt (mits noemer ongelijk 0) van
continue functies zijn continu. Ook de samenstelling van continue functies
is continu (mits goed gedefinieerd).
10
Stelling: Als de functie f continu is op een gesloten en begrensd interval
[a, b], dan bestaan er x1 en x2 in [a, b], zó dat voor alle x ∈ [a, b]:
f (x1 ) ≤ f (x) ≤ f (x2 ).
m = f (x1 ) is het absolute minimum van f op [a, b], en M = f (x2 ) is het
absolute maximum van f op [a, b].
Tussenwaardestelling: Als f continu is op het interval [a, b], en als
f (a) < s < f (b), dan bestaat er een c ∈ [a, b] zó dat f (c) = s.
11