1 Introductie limieten 2 Wiskunde van limieten

1
1
Introductie limieten
Het gedrag op lange termijn van biologische systemen is belangrijk. Denk bijvoorbeeld aan de uitkomst
van een chemische reactie of de groei (en stabilisatie) van een populatie. Als je het gedrag van zo’n
biologisch systeem in een functie, f (x), kan beschrijven, dan kan je het gedrag van een systeem op
lange termijn uitrekenen of voorspellen door x te vervangen door oneindig (∞). De waarde van de
functie f (x) als x naar oneindig (∞) gaat noem je de limiet van de functie. Het heet dan een limiet
omdat x wel naar oneindig gaat maar het nooit bereikt, want dan kan nu eenmaal niet met oneindig.
In de cursus systeembiologie, en andere cursussen zal je te maken krijgen met vergelijkingen die de
relatie tussen allerhande biologische, chemische of natuurkundige grootheden beschrijven. Om deze
vergelijkingen te schetsen en te begrijpen moet je in staat zijn om uit te kunnen dokteren wat er met
de functie gebeurt als x naar plus of min oneindig gaat. Bijvoorbeeld f (x) = 5 + x1 nadert (maar
bereikt nooit helemaal) 5 als x oneindig nadert (oftewel wanneer x → ∞). Een andere veelgebruikte
term voor de uitkomst van een functie f (x) als x naar oneindig gaat, is de asymptoot. De asymptoot
van f (x) = 5 + x1 voor x → ∞ is dus 5.
Limieten zijn niet alleen relevant als x naar oneindig gaat. In vele soorten vergelijkingen zoals f (x) =
y = 5 + x1 is de functie niet gedefinieerd wanneer x = 0, omdat delen door 0 niet bestaat. Maar om
deze functie te kunnen schetsen en begrijpen moet je wel kunnen uitzoeken wat de waarde van f (x)
vlak voor en vlak na 0 is! Als x in deze functie een fractie groter dan 0 is dan wordt f (x) een heel
groot getal, en hoe dichter x van boven de 0 nadert hoe dichter f (x) naar oneindig gaat. Deze limiet
beschrijft ook een asymptoot maar deze asymptoot loop verticaal. De schets van deze functie ziet er
dus als volgt uit:
2
Wiskunde van limieten
We noemen A de limiet van de functie f (x) wanneer de waarde van f (x) dichter en dichter bij A komt,
als x de waarde van a nadert. Dit schrijf je formeel als volgt op:
lim f (x) = A
x→a
Als een functie continue is, dan is het vinden van de limiet triviaal. We hoeven alleen de waarde x = a
in onze functie f (x) in te vullen:
2
lim f (x) = f (a)
x→a
Er zijn echter een paar belangrijker uitzonderingen.
Wanneer we de limiet van een functie willen vinden voor x → ∞ worden we gelijk geconfronteerd met
de eerste uitzondering. Zoals boven beschreven is deze limiet erg belangrijk, maar er bestaat geen
getal ∞ dat we in onze functie kunnen invullen. Voor functies met getallen (zoals f (x) = 3x2 − 5) in
plaats van parameters (zoals f (x) = ax2 + b) kunnen we de waarde van de limiet schatten door hele
grote waarden in de functie in te vullen zoals x = 10000, 20000, enzovoort, maar wat moeten we doen
bij functies met parameters?
p(x)
,
Dit probleem is in het bijzonder belangrijk voor zogenaamde rationele functies van de vorm f (x) = g(x)
2
waar p(x) en g(x) beiden polynome functies zoals x zijn. In dit geval kunnen we altijd de limiet vinden
dankzij de volgende twee eigenschappen van functies met machten:
C
=0
xα
xα
=∞
lim
x→∞ C
waar C een willekeurige positieve constante is en de parameter voldoet aan α > 0
lim
x→∞
De logica achter de eerste uitkomst is als volgt: als x naar ∞ nadert (en dus groter en groter wordt),
wordt de machts functie xα (met α > 0) per definitie ook groter en groter, en dus gaat xCα dichter
en dichter naar nul, met als resultaat limx→∞ xCα = 0. De logica achter de tweede uitkomst is precies
andersom, als x naar ∞ nadert (en dus groter en groter wordt), wordt de machts functie xα (met
α
α > 0) per definitie ook groter en groter, en dus gaat xC dichter en dichter naar oneindig, met als
α
resultaat limx→∞ xC = ∞.
Om een limiet te kunnen uitrekenen aan de hand van dit gedrag moeten we het volgende doen (1)
p(x)
bepalen wat de hoogste macht van x is in onze functie g(x)
, (2) elke term in onze functie delen door
x tot die (hoogste) macht, en (3) de limiet voor elk term los van elkaar vinden met behulp van het
α
gedrag gegeven door limx→∞ xCα = 0, en limx→∞ xC = ∞.
Voorbeeld (vind de limiet):
aN 2 − 3N
N →∞ 3 − 2N 2
lim
De hoogste macht hier is N 2 , hierdoor delen geeft
zijn dan dus:
a−0
0−2
= − a2
aN 2
−3 N2
N2
N
2
3
− 2N2
N2
N
=
3
a− N
.
3
2 −2
De limieten van de losse termen
N
Voorbeeld (vind de limiet):
ax3 − bx2 + c
, a, b, c > 0
x→∞
ax4 − b
lim
Door hetzelfde als hierboven te doen krijgen we dan dus:
ax3 −bx2 +c
ax4 −b
=
2
ax3
− bx4 + c4
x4
x
x
ax4
− b4
4
x
x
=
a
− b2 + c4
x
x
x
a− b4
x
=
3
0−0+0
a−0
=
0
a
= 0.
Voorbeeld (vind de limiet):
aP − 3bP 3
, a, b, c > 0
P →∞
cP 2
lim
Door weer hetzelfde als hierboven te doen krijgen we:
aP −3bP 3
cP 2
=
3
aP
− 3bP3
P3
P
cP 2
P3
=
a
−3b
P2
c
P
=
0−3b
0
= −∞. De
een na laatste expressie lijkt op delen door nul uit te draaien, maar door terug te gaan naar de losse
elementen zien we dat Pc dus een positief extreem klein getal is. En −3b gedeeld door een extreem
klein getal (bijna nul) is −∞.
De tweede belangrijke en niet-triviale situatie speelt bij die functies waar de noemer van een functie
p(x)
2
f (x) = g(x)
nul wordt voor een gegeven waarde van x, zoals bijvoorbeeld het geval is bij f (x) = x−3
voor x = 3 In dit geval kunnen we de formule limx→a f (x) = f (a) niet toepassen, omdat we a
niet kunnen invullen. Er is dan dus een uitgebreidere analyse nodig. Door onze rekenmachine te
gebruiken om waarden van x in te voeren die dicht bij 3 liggen kunnen we het volgende opmerken:
als x dichter en dichter bij 3 komt van rechts (> 3), zoals bijvoorbeeld x = 3.1; 3.05; 3.01, 3.005; enz.,
dan worden de uitkomsten van de functie hoger en hoger, terwijl als we 3 naderen van links (< 0),
zoals bijvoorbeeld x = 2.9; 2.95; 2.99, 2.995; enz. dan is de uitkomst van de functie negatief en wordt de
2
= +∞,
absolute waarde van die functie ook groter en groter. Dit schrijven we formeel als limx→3+ x−3
2
while limx→3− x−3 = −∞.
Zoals in de introductie is uitgelegd zijn limieten zeer belangrijk voor het tekenen van functies. De
Limieten voor x → ∞ en x → −∞ zijn de horizontal asymptoten van een grafiek. En als we met een
p(x)
functie te maken hebben in vorm f (x) = g(x)
waar de noemer nul wordt bij een waarde a van x dan
geeft x → a de verticale asymptoten van een grafiek.
3
3.1
Online studiemateriaal
Khan lectures over limieten
. De khan lectures leggen goed en rustig uit wat limieten zijn en hoe je ze makkelijk zelf kan achterhalen aan de hand van een flink aantal goede voorbeelden. De volgende links bevatten online lezingen
van de Khan acadamy op youtube.
Introductie in limieten: http://www.youtube.com/watch?v=riXcZT2ICjA
Voorbeelden van limieten 1: http://www.youtube.com/watch?v=GGQngIp0YGI
Voorbeelden van limieten 2: http://www.youtube.com/watch?v=YRw8udexH4o
Voorbeelden van limieten 3: http://www.youtube.com/watch?v=gWSDDopD9sk
Naast weblectures staan er op de Khan Academy website (http://www.khanacademy.org) ook oefenopgaves. En Khan legt ook nog eens uit waarom we niet door nul kunnen delen: http://www.
youtube.com/watch?v=SQzjzStU1RQ, wat heel veel met limieten te maken heeft.
4
3.2
MathAdore and MathBridge
Voor meer praktijk oefeningen en een andere manier om de theorie van limieten te introduceren en
beschrijven kan je ook naar MathAdore. Hun introducerende en uitleggende text, alsmede de opgaven vind je op http://www.wiskundeweb.nl/MathAdoreOpgaven/vc-bg24-print.html, en de antwoorden op de vragen van MathAdore vind je op http://www.wiskundeweb.nl/MathAdoreOpgaven/
vc-bg24-print-ant.html.
Een ander pakket dat je kunt gebruiken is MathBridge:
http://system.math-bridge.org/mathbridge/#!schulMFirstRec/1/
Je kunt je gratis registreren voor dit pakket!
4
Opgaves
Geef de limiet voor
lim 3x2 − 2x + 5
x→∞
Geef de limiet voor
1
x→0+ x
lim
Geef de limiet voor
lim
x→0−
Geef de limiet voor
1
x
(2 + 2x)
x→−1 (1 + x)
lim
Geef de limiet voor
(x2 + 3)
x→∞
x3
lim
Geef de limiet voor
6x2
x→∞ /(2x2 + x)
lim
Geef de limiet voor
(x2 + 3)
+6
x→∞
x3
lim
Schets de functie en z’n asymptoten voor
f (x) =
x
+1
x−2
5
Schets de functie en z’n asymptoten voor
f (x) =
2x
−6
x+4