Limieten van irrationale functies

Limieten van algebraïsche functies
Inleiding (belangrijke basisbegrippen)
IR  IR  
Een basisomgeving van een reëel getal a is een open interval in IR, dat a bevat. Notatie:
Ba

Een basisomgeving van  is een halfopen interval in IR 0 dat  bevat.

Een basisomgeving van  is een halfopen interval in IR 0 dat  bevat.
Een gecentreerde basisomgeving van een reëel getal a is een basisomgeving van a met
a als midden. Notatie: a  ,a    met   IR 0 .
Een doorboorde basisomgeving van a is een basisomgeving van a waarin het getal a zelf
is weggelaten. Notatie: B a
A  IR ; a  IR
a is een adherent punt van A asa elke basisomgeving van a minstens 1 punt van A bevat.
A  IR ; a  IR
a is een ophopingspunt van A asa elke basisomgeving van a minstens 1 punt van A bevat,
verschillend van a.
A  IR ; a  IR
a is een geïsoleerd punt van A asa er een basisomgeving van a is die alleen het punt a
met A gemeen heeft.
De limiet van f in een ophopingspunt a van het domein van f is b asa voor elke
basisomgeving B b van b een doorboorde basisomgeving B a van a bestaat waarvan het beeld
door f omvat is in B b .
 
In symbolen: lim f  x   b  Bb , B a : f B a  Bb
x a
Basiseigenschappen van limieten:
Als lim f en lim g bestaan dan
x a
x a
1. lim  f  g  lim f  lim g
x a
x a
x a
2. lim  f  g  lim f  lim g
x a
x a
x a
3. lim  f  g  lim f  lim g
x a
x a
 
 
4. lim f n  lim f
x a
x a
n
x a
n  IN0
5. lim r  f   r  lim f
x a
r  IR
x a

6. lim  g f   g lim f
x a
x a



f bestaat en g is continu in lim f 
 als lim
x a
x a


lim f
f
 x a
x a g
lim g
7. lim
x a
8. lim
x a
 f
n
n
lim f
x a
Een algebraïsche functie is een reële functie die kan verkregen worden door de algemene
bewerking + , - ,  , : , machtsverheffing en worteltrekking toe te passen op
veeltermfuncties.
Regel 1:
De limiet van een algebraïsche functie in een niet-geïsoleerd punt van het
domein is de functiewaarde in dat punt.
lim f  x   f  a 
x a
1. Limiet van een veeltermfunctie
Regel 2:
De limiet van een veeltermfunctie in  is de limiet van de hoogstegraadsterm
in  .

Voorbeeld: lim 2x 4  3x 2  2x  3
x 

2. Limiet van een rationale functie
Regel 3:
De linker- en rechterlimiet in een nulpunt van de noemer dat geen nulpunt is
van de teller is  . Het teken wordt bepaald door het teken van de functie
links en rechts van a te onderzoeken. Geval
r
.
0
2x 3  3
x  4  x 3  2x 2  7x  4
Voorbeeld: lim
Regel 4:
De limiet in een nulpunt van teller en noemer is de limiet in a van de nieuwe
functie verkregen door in teller en noemer de factor x – a te schrappen, op
voorwaarde dat deze nieuwe functie een limiet heeft in a. Geval
x3  8
x 2 x 2  3x  2
Voorbeeld: lim
0
.
0
Regel 5:
De limiet van een rationale functie in  is de limiet van het quotiënt van de
hoogstegraadstermen, die na vereenvoudiging van de gemeenschappelijke
factoren x in teller en noemer berekend wordt.
3x 2  7x  3
x  2x 4  3x 2  2x  3
Voorbeeld: lim
3. Limiet van een irrationale functie
3.1.
Limiet in een nulpunt van de noemer dat geen nulpunt is van de teller.
Zoals bij rationale functies zonderen het factorgedeelte van de noemer dat nul wordt af
(Regel 3).
Voorbeeld:
lim
x 3
x 2  5x  4
x 2  5x  6
3.2.
Limiet in een nulpunt van teller en noemer.
Zoals bij rationale functies proberen we in teller en noemer de factor x – a af te zonderen en
te schrappen (Regel 4).
Voorbeeld 1: lim
2x  3  x
x 3
Voorbeeld 2: lim
x2  9
x 3
x 3
x 3
3.3.
Limiet in  .
Voorbeeld 1:
lim
x 
4x 2  x  1
controleer oph dom f !
Voorbeeld 2:
Voorbeeld 3:
9x 2  4x  5
x3
lim
x 
lim
x 

9x 2  2x  3x
controleer oph dom f !
