Analyse: van R naar Rn hoorcollege - Continue functies in

Continuı̈teit in metrische ruimtes
Definitie 21.1
n
Analyse: van R naar R hoorcollege
Continue functies in metrische ruimtes (13)
Zij (S, d) en (S ∗ , d ∗ ) metrische ruimtes en f : S → S ∗ een functie. We noemen f
continu in s0 ∈ S als
∀ > 0 ∃δ > 0 zodat d(s, s0 ) < δ ⇒ d ∗ f (s), f (s0 ) < .
Gerrit Oomens
[email protected]
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde
Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica
Universiteit van Amsterdam
De gebruikelijke resultaten voor continue functies gelden:
als f , g continu, dan is f ◦ g ook continu,
als f , g : S → R continu, dan zijn f + g en f · g ook continu.
Bekijk S = Rk en de projectie πj : Rk → R gegeven door πj (~x) = xj . Dan is πj continu:
v
u k
uX
d πj (~x), πj (x~0 ) = |xj − xj0 | ≤ t
|xj − xj0 |2 = d ~x, x~0 .
j=1
Dus δ = voldoet in de definitie. Hieruit volgt continuı̈teit van bijvoorbeeld
f : R3 → R
(x, y , z) 7→ xyz
Continuı̈teit van componenten
g : R2 → R
(x, y ) 7→ e x+y cos x
Continuı̈teit in topologische zin
Stelling 21.3
Stelling (c.f. 21.2)
Zij (S, d) een metrische ruimte en f1 , . . ., fk : S → R afbeeldingen. Definieer
f : S → Rk door f (s) = f1 (s), . . . , fk (s) . Dan is f continu desda alle fj dat zijn.
“⇒”: volgt uit continuı̈teit van projecties en samenstellingen: fj = πj ◦ f .
“⇐”: neem s0 ∈ S en laat > 0.
Elke fj is continu in s0 , dus er bestaat voor elke j een δj zodat |fj (s) − fj (s0 )| < als d(s, s0 ) < δj .
Definieer δ := min(δ1 , . . . , δk ).
Als d(s, s0 ) < δ, dan geldt
v
v
u k
u k
√
uX
uX
d f (s), f (s0 ) = t
|fj (s) − fj (s0 )|2 < t
2 = k .
j=1
We zien dat f continu is in s0 .
j=1
Zij (S, d) en (S ∗ , d ∗ ) metrische ruimten. Een f : S → S ∗ is continu desda f −1 (U)
open is voor elke open U ⊆ S ∗ .
“⇐”: stel dat f −1 (U) open is voor alle open U. Neem s0 ∈ S en > 0.
Kies U = B f (s0 ), . Dan is U open en s0 ∈ f −1 (U).
f −1 (U) is open, dus er is δ > 0 zodat B(s0 , δ) ⊆ f −1 (U).
Nu:
d(s, s0 ) < δ ⇒ s ∈ B(s0 , δ) ⇒ f (s) ∈ U ⇒ d ∗ f (s), f (s0 ) < .
“⇒”: stel dat f continu is. Zij U ⊆ S ∗ open en neem s0 ∈ f −1 (U).
Omdat U open is en f (s0 ) ∈ U, bestaat er > 0 zodat B f (s0 ), ⊆ U.
Er bestaat δ > 0 zodat d ∗ f (s), f (s0 ) < als d(s, s0 ) < δ.
Nu: s ∈ B(s0 , δ) ⇒ d ∗ f (s), f (s0 ) < ⇒ f (s) ∈ B f (s0 ), ⊆ U,
Dus s ∈ f −1 (U) voor elke s ∈ B(s0 , δ).
We zien B(s0 , δ) ⊆ f −1 (U), dus s0 is inwendig. Dit geldt voor elke s0 ∈ f −1 (U),
dus deze verzameling is open.
Compactheid en continuı̈teit
Compactheid en continuı̈teit
Heine-Borel
Definitie
Zij (S, d) een metrische ruimte. Een verzameling F ⊆ S heet compact als elke
overdekking een eindige deeloverdekking
heeft: voor elke collectie {Uα , α ∈ S
A} van
S
open verzamelingen zodat F ⊆ α∈A Uα , bestaan er α1 , . . . , αn zodat F ⊆ ni=1 Uαi .
Stelling 21.4 (i)
Stelling 21.4 (i)
Zij f : S → S ∗ een continue afbeelding en E ⊆ S compact. Dan is f (E ) ook compact.
Gevolg
Zij f : S → S ∗ een continue afbeelding en E ⊆ S compact. Dan is f (E ) ook compact.
Bewijs:
Neem een open overdekking {Uα : α ∈ A} van f (E ).
f −1 (Uα )
open en geldt E ⊆
S
Dus bestaan er α1 , . . . , αn zodat E ⊆ ni=1 f −1 (Uαi ).
Sn
Maar dan geldt ook f (E ) ⊆ i=1 Uαi .
Dan zijn de verzamelingen
In Rk is F compact desda F gesloten en begrensd is.
S
−1 (U ).
α
α∈A f
Dus de overdekking heeft een eindige deeloverdekking.
Compactheid en uniforme continuı̈teit
Zij (S, d) een metrische ruimte en f : S → R continu. Stel dat E ⊆ S compact is. Dan
1
f is begrensd op E .
2
f neemt een maximum en minimum aan op E .
Bewijs:
1
Volgt direct uit de compactheid van f (E ) en Heine-Borel.
2
f (E ) is gesloten, dus bevat zijn supremum U en infimum L. Deze zijn eindig
vanwege de begrensdheid van f (E ). Dan is U het maximum van f op E en L het
minimum.
Limieten en functies
Definitie
Een functie S → S ∗ heet uniform continu als voor elke > 0 er een δ > 0 is zodat
d f (s), f (t) < als d(s, t) < δ.
Definitie
Stelling 21.4 (ii)
Zij f : S → S ∗ een functie. Zij s0 ∈ S. We schrijven
Zij f : S → S ∗ continu en E ⊆ S compact. Dan is f uniform continu op E .
Bewijs:
Voor elke s ∈ E is er een δs zodat d ∗ f (s), f (t) < als d(s, t) < δs .
De collectie B s, 21 δs : s ∈ E vormt een open overdekking van E .
Er zijn dus s1 , . . . , sn zodat E ⊆ B s1 , 12 δs1 ∪ · · · ∪ B sn , 12 δsn .
Laat δ = 12 min(δs1 , . . . , δsn ) en kies s, t ∈ E met d(s, t) < δ.
Er bestaat k zodat s ∈ B sk , 12 δsk , dus d(s, sk ) < 12 δsk .
Dan is d(sk , t) ≤ d(sk , s) + d(s, t) < 12 δsk + δ ≤ δsk .
Nu is d ∗ f (t), f (sk ) < en evenzo d ∗ f (s), f (sk ) < , dus
d ∗ f (s), f (t) ≤ d ∗ f (s), f (sk ) + d ∗ f (sk ), f (t) < 2.
lim f (s) = L
s→s0
voor zekere L ∈ S ∗ als voor elke > 0 er een δ > 0 bestaat zodat d ∗ f (s), L < geldt als d(s, s0 ) < δ.
Merk op: equivalent zijn
1
f continu in s0 ,
2
lims→s0 f (s) = f (s0 ),
3
voor elke rij sn → s0 geldt f (sn ) → f (s0 ).
Situatie
Homogeniteit
In het vervolg zullen we ons beperken tot functies van Rn naar Rm . Vaak, maar niet
altijd, is n = 2 en m = 1. We gebruiken op Rk de metriek
v
u k
uX
d(~x,~y) = t (xj − yj )2 = k~x − ~yk
j=1
afkomstig van de bijbehorende Euclidische norm
v
u k
uX
k~xk = t
xj2 .
j=1
Voor een functie f :
R2
→ R betekent een limiet als
lim f (~x) = L
~x→~0
Definitie (Syllabus 7.14)
We noemen f : Rn \ {0} → R homogeen van graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt
f (r~x) = r α f (~x).
Bekijk op R2 \ {0} de functies
x2 − y2
f1 (x, y ) = 4
,
x + y4
f2 (x, y ) = sin
x
p
x2 + y2
!
,
f3 (x, y ) =
xy 2
.
+ y2
x2
Deze zijn homogeen, met graden −2, 0 en 1.
dat voor alle > 0 er δ > 0 is zodat |f (~x) − L| < als k~xk < δ.
Oftewel: f (~x) gaat naar L als ~x nadert, onafhankelijk van de richting.
Homogeniteit en limiet
Homogeniteit en limiet
Definitie (Syllabus 7.14)
Definitie (Syllabus 7.14)
We noemen f : Rn \ {0} → R homogeen van graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt
We noemen f : Rn \ {0} → R homogeen van graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt
f (r~x) = r α f (~x).
Propositie (Syllabus 7.15)
Zij f : Rn \ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is
lim~x→~0 f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.
Bewijs: stel α > 0.
De sfeer S n−1 = {~x ∈ Rn : k~xk = 1} is gesloten en begrensd in Rn , dus compact.
Dan is f begrensd op S n−1 : er is M zodat voor alle k~xk ∈ S n−1 geldt |f (~x)| ≤ M.
Voor ~x willekeurig kunnen we schrijven ~z = k~~xxk , zodat k~zk = 1 en ~x = k~xk~z. Dan
|f (~x)| = f k~xk · ~z = k~xkα · |f (~z)| ≤ Mk~xkα .
Dus omdat α > 0 zien we dat f (~x) → 0 als ~x → 0.
f (r~x) = r α f (~x).
Propositie (Syllabus 7.15)
Zij f : Rn \ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant. Dan is
lim~x→~0 f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.
Bewijs, vervolg: stel α < 0.
Neem ~x zodat f (~x) 6= 0.
Dan is f (r~x) = r α f (~x). Als r ↓ 0 gaat dit naar ±∞.
Bekijk ten slotte α = 0. Dan geldt f (r~x) = f (~x).
Neem ~x en ~y zodat f (~x) 6= f (~y).
Dan geldt limr ↓0 f (r~x) = f (~x) en limr ↓0 f (r~y) = f (~y).
Maar r~x → ~0 en r~y → ~0 als r ↓ 0, dus als lim~x→~0 f (~x) bestaat moet gelden
lim f (r~x) = lim f (~x) = lim f (r~y).
r ↓0
~x→~0
r ↓0