pdf huiswerk 4

4E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE
WISKUNDE
Inleverdatum 6 oktober 2015, uiterlijk 11:15 uur
• Je moet de hele uitwerking opschrijven en niet alleen het antwoord geven. Je mag de
theorie gebruiken die op het college of in het boek is behandeld.
• Je moet het huiswerk op het college inleveren. Handgeschreven (mits goed leesbaar) en
getypt mag alletwee.
√
• Geef exacte antwoorden, geen decimalen (bijvoorbeeld 4/3 en geen 1, 333, 2 en geen
1, 414).
• Zet je naam en studentnummer op het huiswerk.
Opgave 1. De functie f is gegeven door
f (x) = cos x
f (0) = 2;
f (x) = 1 − x
f (x) = 1 + ln x
(x < 0);
(0 < x ≤ 1);
(x > 1).
Ga na of f links-continu, rechts-continu of continu is in x = 0 en x = 1. Als er in x = 0 of
x = 1 een discontinuı̈teit is, ga na of die ophefbaar is.
Opgave 2. De functie f is gegeven door
f (x) = 2x3 + k
f (1) = 1;
f (x) = k 2 ln ex
(x < 1);
(x > 1).
a) Bepaal de waarde(n) van k waarvoor lim f (x) bestaat.
x→1
b) Bepaal de waarde(n) van k waarvoor f (x) continu is in x = 1.
Opgave 3. Bepaal de afgeleiden van de volgende functies:
√
x2 + 1
3
2
; b) 7 x3 + 1; c) xx ; d) sin(ex ).
a) 3
x −1
cos x
.
Opgave 4. De functie f is gegeven door f (x) =
1 + x2
Bepaal de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f in ( 12 π, f ( 12 π)).
1
2
VOORBEELDEN
1. De functie f is gegeven door
f (x) = 2x
f (0) = 1;
f (x) = x + 1
f (1) = 3;
f (x) = 2x2
(x < 0);
(0 < x < 1);
(x > 1).
Ga na of f links-continu, rechts-continu of continu is in x = 0 en x = 1. Als er in x = 0 of
x = 1 een discontinuı̈teit is, ga na of die ophefbaar is.
Oplossing. We gebruiken het volgende. f heeft een ophefbare discontinuı̈teit in x = a als
limx→a f (x) = L bestaat en als f (a) 6= L. Dan kunnen we f continu maken in x = a door
te definiëren f (a) := L. Dus als limx→a f (x) niet bestaat, dan heeft f zeker geen ophefbare
discontinuı̈teit in x = a.
• Er geldt f (0) = 1, lim f (x) = lim 2x = 0 6= f (0). Dus f is niet links-continu in x = 0.
x↑0
x↑0
• Verder geldt lim f (x) = lim x + 1 = 1 = f (0). Dus f is wel rechts-continu in x = 0.
x↓0
x↓0
• f is niet links-continu in x = 0 dus ook niet continu in x = 0.
• lim f (x) bestaat niet omdat de linker- en rechterlimiet verschillend zijn. Dus f heeft in
x→0
x = 0 geen ophefbare discontinuı̈teit.
• Er geldt f (1) = 3 en lim f (x) = lim x + 1 = 2 6= f (1). Dus f is niet links-continu in
x↑1
x↑1
x = 1.
• Verder geldt lim f (x) = lim 2x2 = 2 6= f (1). Dus f is ook niet rechts-continu in x = 1.
x↓1
x↓1
• f is niet links-continu en niet rechts-continu in x = 1 dus ook niet continu in x = 1.
• Er geldt lim f (x) = 2 (linker- en rechterlimiet zijn beide 2). We kunnen nu f continu
x→1
maken in x = 1 door te definiëren f (1) := 2. Dus f heeft in x = 1 een ophefbare
discontinuı̈teit.
2. De functie f is gegeven door
f (x) = k sin(x + π/6)
f (x) = k + 2x
(x < 0);
(x ≥ 0).
Bepaal de waarde(n) van k waarvoor f continu is in x = 0.
Oplossing. We gebruiken
f continu in x = a
⇐⇒ f links-continu en rechts-continu in x = a ⇐⇒ lim f (x) = lim f (x) = f (a).
x↑a
x↓a
3
In de opgave geldt
lim f (x) = lim k sin(x + π/6) = k sin π/6 = 12 k, lim f (x) = lim k + 2x = k + 1,
x↑0
x↑0
x↓0
x↓0
f (0) = k + 20 = k + 1.
Dus f is continu in x = 0 ⇐⇒ limx↑0 f (x) = limx↓0 f (x) = f (0)
⇐⇒ 12 k = k + 1 = k + 1 ⇐⇒ 12 k = −1 ⇐⇒ k = −2.
3. a) Bepaal de afgeleide van f (x) = xx voor x > 0.
b) Bepaal de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f in (2, f (2)).
Oplossing. a) We kunnen in het algemeen de afgeleide van f (x)g(x) bepalen door dit te
schrijven als eg(x) ln f (x) . Bijvoorbeeld ax kan worden geschreven als ex ln a en volgens de
kettingregel heeft deze functie als afgeleide ex ln a ln a = ax ln a.
We schrijven dus xx als ex ln x . De afgeleide van deze functie is
ex ln x (x ln x)0 = ex ln x (x(ln x)0 + x0 ln x) = ex ln x (x · (1/x) + ln x) = xx (1 + ln x).
b) In het algemeen wordt de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f in (a, f (a))
gegeven door y = f (a) + f 0 (a) · (x − a).
Als we dit toepassen met f (x) = xx , a = 2 krijgen we de vergelijking
y = f (2) + f 0 (2)(x − 2) = 4 + 4(1 + ln 2)(x − 2).