1e deeltentamen Continue wiskunde 2014-15

1E DEELTENTAMEN CONTINUE WISKUNDE
maandag 20 oktober 2014, 14:00-16:00
• Vul op elk tentamenpapier DUIDELIJK LEESBAAR je naam
en collegekaartnummer in.
• Op de achterzijde staan drie opgaven en een lijstje formules.
• Het gebruik van grafische of programmeerbare rekenmachines is niet
toegestaan. Een eenvoudige wetenschappelijke calculator mag wel.
• Motiveer elk antwoord d.m.v. een berekening of redenering.
• Links in de marge staat het maximale aantal punten voor een opgave. Het cijfer is (aantal behaalde punten)/10.
10
10
10
10
1.
Bepaal de afgeleiden van de functies
p
1 + ln x
3
f (x) = esin x + 1, g(x) =
.
1 + x2
(x − 12 )2
.
2.a) Bereken lim
x→1/2 sin πx − 1
3x + 2 x
.
b) Bereken lim x
x→∞ 3 + 100x
3.
Voor c ∈ R is de functie fc gegeven door
 √
2 3

 c x + 8 (x > 0),
fc (x) =
2
(x = 0),

 (2c)x+1
(x < 0).
Bepaal voor welke waarde(n) van c de limiet lim fc (x) bestaat.
x→0
Bepaal ook voor welke waarde(n) van c de functie fc continu is in
x = 0.
ZOZ
1
2
10
4.a) Bepaal de nulpunten van f (x) = x3 − 6x2 + 9x − 2.
10
b) Geef aan waar f (x) stijgt of daalt. Bepaal de extremen van f (x)
met plaats (x-coördinaat), aard (minimum of maximum, absoluut of
relatief), en grootte (y-coördinaat). Schets de grafiek van f (x).
15
5.a) Bepaal het 2e Taylorpolynoom P2 (x) van x−1/2 rond x = 4. Geef ook
een uitdrukking voor de foutterm E2 (x).
√
b) We willen 1/ 4, 01 benaderen met P2 (4, 01). De fout die we hierbij
maken is E2 (4, 01). Laat zien dat |E2 (4, 01)| < 10−8 .
5
10
x4 + 1
6. Gegeven is de functie f (x) = 3
.
x − 2x2
a) Bepaal de verticale asymptoten van f . Bepaal voor elke verticale
aysmptoot x = a de limieten lim f (x) en lim f (x).
x↑a
x↓a
Opmerking. lim f (x) betekent hetzelfde als lim f (x), lim f (x) hetx↑a
x→a−
x↓a
zelfde als lim f (x).
x→a+
10
b) Laat zien dat f (x) zowel voor x → ∞ als x → −∞ een scheve
asymptoot heeft en bepaal deze.
Formules goniometrie
sin(x + y) = sin x · cos y + cos x · sin y;
cos(x + y) = cos x · cos y − sin x sin y;
√
sin π6 = cos π3 = 21 ; sin π3 = cos π6 = 12 3;
sin π4 = cos π4 =
1
2
√
2.
Standaardlimieten voor functies
sin x
a x
xp
ln x
lim
= 1; lim 1 +
= ea ; lim x = 0; lim q = 0 als q > 0.
x→∞
x→∞ e
x→∞ x
x→0 x
x
Afgeleiden
(tan x)0 =
1
1
1
= tan2 x + 1; (arcsin x)0 = √
; (arctan x)0 =
.
2
cos x
1 + x2
1 − x2