Tentamen Continue wiskunde 1, 28/10/2016

TENTAMEN CONTINUE WISKUNDE 1
vrijdag 28 oktober 2016, 14:00-16:00
• Vul op elk tentamenpapier DUIDELIJK LEESBAAR je naam
en collegekaartnummer in.
• Op de achterzijde staan drie opgaven en een lijstje met formules.
• Het gebruik van grafische of programmeerbare rekenmachines is niet
toegestaan. Een eenvoudige wetenschappelijke calculator mag wel.
• Motiveer elk antwoord d.m.v. een berekening of redenering.
• Links in de marge staat het maximale aantal punten voor een opgave. Het cijfer is (aantal behaalde punten)/5.
1.
De functie fc is gegeven door
√
4
2

 x + 17 + c
fc (x) =
6

 2 log(x(c2 −c)/3 )
voor x < 8,
voor x = 8,
voor x > 8.
3
a) Bepaal de waarde(n) van c waarvoor lim fc (x) bestaat.
2
b) Bepaal de waarde(n) van c waarvoor fc continu is in x = 8.
5
5
5
x→8
x5 + 3x3 + 2x − 7
.
2. Gegeven is de functie f (x) =
x4 + x2 + 1
a) Laat zien dat f een nulpunt heeft in (1, 2). Leg uit dat f geen andere
nulpunten heeft.
b) Bepaal de scheve asymptoten van f voor x → ∞ en voor x → −∞.
p
3. Van een rechthoek met zijden x en y is de diameter x2 + y 2 gelijk
aan 1. Bepaal x en y zodat de oppervlakte xy van de rechthoek
maximaal is.
ZIE ACHTERKANT
1
2
5
4.a) Bereken lim
5
b) Bereken lim
x→1
x→∞
5.
ln x − x + 1
.
1 − sin( 12 πx)
ln x
.
ln(x + 1)
Wanneer een functie f n + 1 keer differentieerbaar is in de buurt van
x = a, dan geldt f (x) = pn,a (x) + Rn+1,a (x) in de buurt van x = a,
waarbij pn,a (x) het ne Taylorpolynoom rond x = a is, en Rn+1,a (x) de
Lagrange-restterm. Hier is
f (n+1) (θ)
Rn+1,a (x) =
(x − a)n+1 met θ tussen a en x.
(n + 1)!
6
a) Gegeven is f (x) = x3/5 . Bepaal p2,32 (x) en R3,32 (x).
4
b) We benaderen 333/5 door p2,32 (33). We maken een fout R3,32 (33).
7
Laat zien dat |R3,32 (33)| < 125
× 2−12 . Je mag niet gebruikmaken van
je rekenapparaat.
x2
.
x3 + 4
a) Bepaal het domein van f . Bepaal de verticale asymptoten van f (x).
Bepaal voor elke verticale asymptoot x = a de limieten lim f (x) en
6.
3
Gegeven is de functie f (x) =
x↑a
lim f (x).
x↓a
2
b) Bepaal de horizontale asymptoten van f (x) voor x → ∞ en x → −∞.
3
c) Bepaal voor welke waarden van x de functie f (x) stijgend of dalend is. Bepaal ook de extremen van f (x) met plaats (x-coördinaat),
aard (maximum of minimum, absoluut of relatief) en grootte (ycoördinaat).
2
d) Schets de grafiek van f (x).
3
Formules goniometrie
sin(x + y) = sin x · cos y + cos x · sin y;
cos(x + y) = cos x · cos y − sin x sin y;
√
sin π6 = cos π3 = 21 ; sin π3 = cos π6 = 12 3;
sin π4 = cos π4 =
1
2
√
2.
Standaardlimieten voor functies
xp
ln x
sin x
a x
= ea ; lim x = 0; lim q = 0 als q > 0.
lim
= 1; lim 1 +
x→∞ e
x→∞ x
x→∞
x→0 x
x