2005

1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen
Academiejaar 2004-2005
1ste semester
24 januari 2005
Analyse I
1. Toon aan dat elke begrensde numerieke rij een convergente deelrij heeft.
2. We bekijken een vectorfunctie F~ = (f1 , · · · , fn ) : Rn → Rm , gedefinieerd tenminste op
een omgeving van ~a ∈ Rn . Toon aan dat
lim F~ (~x) = ~b = (b1 , · · · , bm )
~
x→~a
als en alleen als
lim fi (~x) = bi ,
~
x→~a
voor elke i = 1, · · · m.
3. Formuleer en bewijs de stelling van Taylor voor een functie f : R2 → R.
4. Formuleer en bewijs de stelling van de impliciete functie voor het oplossen van de vergelijking f (x, y) = 0. Leid ook een formule af voor y 0 (x) en y 00 (x), en schrijf de Taylorveelterm voor f op tot op orde 2.
Tijd: 90 minuten; elke vraag wordt gekwoteerd op 10 punten
1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen
Academiejaar 2004-2005
1ste semester
24 januari 2005
Oefeningen Analyse I
1. Bepaal de volgende limiet met behulp van de stelling van Taylor:
e2x − cos 2x − 2x
lim
x→0
ln 2 +2 x
2. u0 : (a, b) → R is een willekeurige continue functie. De numerieke functies u1 , u2 , · · ·
worden recursief gedefinieerd door
u0n = (n2 − 1)un−1 ,
voor n ≥ 1. Toon dat 9u4 u31 − 45u3 u2 u21 + 40u32 u1 constant is over (a, b).
3. De vergelijking
x
+ 2z y = 0
z
bepaalt z als impliciete functie van x en y, waarbij z(1, e) = e2 . Bepaal de vergelijking van
het raakvlak aan het oppervlak met vergelijking f (x, y, z) = 0 in het punt (1, e, e2 ).
y
f (x, y, z) = z x ln
4. Zoek de extreme waarden van de functie
f (x, y) = ex+y sin(x − y) − (x − y).
5. Bereken de volgende onbepaalde integraal
Z r
6 cos2 x + sin x cos 2x + sin x
dx
2 − sin x
6. Voor welke waarden van α is de volgende functie continu in (0, 0)?
(
x
als (x, y) 6= (0, 0)
f (x, y) = (x2 + y 2 )α
0
als (x, y) = (0, 0)
Tijd: 3 uur; vragen 1,3 en 6: 8 punten; vraag 2: 6 punten; vragen 4 en 5: 10 punten.
1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen
Academiejaar 2004-2005
2de semester
14 juni 2005
Oefeningen Analyse II
1. Bereken de volgende lijnintegraal
I
(x − y 2 )dx − x2 y 3 dy
Γ+
met Γ+ de gesloten kromme gegeven door y = 0 , x2 − y 2 = 2 en x2 + y 2 = 16 met y ≥ 0.
2. Een waterreservoir heeft de vorm x2 + y 2 − 3z 2 = 1, −1 ≤ z ≤ 1, onderaan gesloten door
het vlak z = −1. Vanaf tijdstip t = 0 stroomt er langs boven (z = 1) water binnen met een
snelheid
p
~v = xt2 u~1 + 3yt3 u~2 − ez x2 + y 2 tu~3
(a) Bereken het volume van het reservoir.
(b) Bereken de hoeveelheid water Φ(t) die per tijdseenheid het reservoir binnenstroomt.
(c) Hoelang duurt het totdat het reservoir vol is?
3. Bereken
Z
ln 2
0
∞
X
n=1
ex
(ex + n)2
!
dx
4. Bespreek de convergentie van de volgende reeksen
a)
n/2
∞ X
4n + 1
n
n=1
b)
∞
X
n
2
4−
√
3 n!
n=0
4−x
n!
(−1)n
n
n
5. Los de volgende differentiaalvergelijking op
y = x(y 0 − 1) + y 03
6. Bepaal de algemene integraal, m.b.v. reeksontwikkeling, van de volgende DV voor grote
waarden van |x|. Er hoeft geen betrekking gevonden te worden tussen cn en c0 .
(4x3 + 6x2 )y 00 + (9x2 + 10x)y 0 − 2y = 0