Vlaamse Wiskunde Olympiade 2011

Vlaamse Wiskunde Olympiade 2011-2012
FINALE
Woensdag 25 april 2012
Zorg voor beredeneerde antwoorden. Een getal of uitkomst alleen,
zelfs juist, is nooit voldoende.
Maak je redenering zo duidelijk mogelijk en schrijf ze verzorgd op. Je
kunt er een extra prijs mee winnen.
1. Onze klas besluit om samen met de leerkracht wiskunde tijdens de middagpauzes een
tornooi alfa-bèta-gamma te spelen. Dit gezelschapsspel wordt steeds per drie gespeeld.
Elke mogelijke combinatie van drie spelers (drie leerlingen of twee leerlingen en de
leerkracht) speelt het spel 1 keer. De speler die wint krijgt 1 punt. De twee verliezers
krijgen geen punten. Op het einde van het tornooi hebben als bij wonder alle leerlingen
evenveel punten. De leerkracht heeft 3 punten. Hoeveel leerlingen zitten er in onze
klas?
2. Stel n een natuurlijk getal. Noem a het kleinste natuurlijk getal dat je van n moet
aftrekken om een volkomen kwadraat te verkrijgen. Noem b het kleinste natuurlijk
getal dat je bij n moet optellen om een volkomen kwadraat te verkrijgen. Bewijs dat
n − ab een volkomen kwadraat is.
3. (a) Toon aan dat voor elke hoek θ en voor elk natuurlijk getal m:
| sin mθ| ≤ m| sin θ|
(b) Toon aan dat voor alle hoeken θ1 en θ2 en voor alle even natuurlijke getallen m:
| sin mθ2 − sin mθ1 | ≤ m| sin(θ2 − θ1 )|
(c) Toon aan dat er voor elk oneven natuurlijk getal m twee hoeken, resp. θ1 en θ2 ,
bestaan waarvoor de ongelijkheid in (b) niet geldig is.
4. In ∆ABC is  = 66◦ en |AB| < |AC|. De buitenbissectrice in A snijdt BC in D en
|BD| = |AB| + |AC|. Bepaal de hoeken van ∆ABC.
c
Vlaamse
Wiskunde Olympiade vzw