Pi is Irrationaal

Pi is Irrationaal
Bewijs van Masouk Malek: http://pi314.at/math/irrational.html
Allereerst definiëren we de functie f:
f ( x) 
x n (1  x)n 1 n  n 
k
     1 x n  k
n!
n ! k 0  k 
Het is niet moeilijk om te laten zien dat
(1)
f ( r ) (0)  0 1 voor r  n of r  2n . Voor
m  1, 2,..., n  1 hebben we:
f ( n  m ) ( x) 
s
1 n  n  (n  k )!
k
 1 xk m

 
n ! k m  k  (k  m)!
f ( s ) (0) een geheel getal.
Omdat bij deze functie geldt dat f ( x  1)  f ( x) , geldt hetzelfde ook voor x  1 : voor alle s 
(s)
is f (1) een geheel getal.
Dus voor alle
is
Het is duidelijk dat als
0  f ( x) 
0  x  1 geldt:
1
n!
Merk bovendien op dat het voldoende is om te bewijzen dat
(2)
 2 irrationaal is.
We nemen nu het omgekeerde aan dan wat we willen bewijzen, namelijk dat


te schrijven is als
a
voor zekere positieve gehele getallen a en b.
b
Nu definiëren we voor alle positieve gehele getallen n de functie F:
Fn ( x)  b n [ 2 n f ( x)   2 n 2 f (2) ( x)   2 n 4 f (4) ( x)  ...  ( 1) n f (2 n ) ( x)]
Merk op dat
(3)
Fn (0) en Fn (1) gehele getallen zijn.
Als we nu de afgeleide van F berekenen krijgen we:
d
dx
[ Fn ( x) sin  x   Fn ( x) cos  x]  [ Fn ( x)   2 Fn ( x)]sin  x  b n 2 n  2 f ( x) sin  x   2 a n f ( x) sin  x
dus is
1
Met
f ( r ) bedoelen we de r-de afgeleide van f.
1
 a
n
f ( x) sin  xdx  [
Fn ( x) sin  x

0
 Fn ( x) cos  x]10  Fn (1)  Fn (0)
een geheel getal.
1
Formule (2) houdt echter in dat 0 
n
  a f ( x) sin  xdx 
 an
0
We hebben nu dus de tegenspraak dat

n!
 1 als n groot genoeg is.
Fn (1)  Fn (0)  1 . Dus is de aanname dat  te schrijven is als
a
onjuist.
b
Bewijs van Niven:
http://www.mathpages.com/home/kmath313.htm
definieer de volgende functie A voor alle reële getallen r en n:
1
A(n) 

(1  x 2 ) n cos(rx)dx
x 1
Als we deze functie partieel integreren vinden we dat A(n) te schrijven is als een recurrente functie:
A(n) 
2n(2n  1)( A(n  1)  4n(n  1) A(n  2)
r2
We kunnen hierin natuurlijk A( n  1) en A(n  2) weer uitdrukken in lagere termen, totdat we bij
A(1) en A(0) zijn.
Het resultaat is:
A(n) 
n!
r
2 n 1
[ P(r ) sin(r )  Q(r ) cos(r )]
waarbij P ( r ) en Q ( r ) polynomen met geheeltallige coëfficiënten van graad r zijn., zodat
r  2n 1 .
a

voor zekere positieve gehele getallen a en b. Verder nemen we r  .
2
b
Nu nemen we aan dat

Dat betekent dat r 
a
. Als we dat in de functie A( n ) invullen (en ons bovendien herinneren dat
2b


sin( )  1 en cos( )  0 , krijgen we:
2
2
 a 
 
 2b 
2 n 1
 a 
A(n)  n ! P  
 2b 
Als we beide zijden met
(2b)2 n1 vermenigvuldigen en delen door n! geeft dat:
a 2 n1 A(n)
 a 
 (2b)2 n1 P  
n!
 2b 
 a 
 een polynoom is met geheeltallige coëfficiënten en dat de graad van P
 2b 
2 n 1
kleiner is dan 2n  1. Dus als we vermenigvuldigen met (2b)
verwijderen we alle 2b’s in de
Denk er aan dat P 
noemers. De uitdrukking rechts van het gelijkteken is dus een geheel getal! Dus is de uitdrukking links
van het gelijkteken ook een geheel getal.
Nu herinneren we ons dat A( n ) gedefinieerd was als de integraal van
(1  x2 )n cos(rx)
x  1 tot +1. De eerste factor van dit product, (1  x 2 )n , ligt altijd tussen 0 en 1. Een
bovengrens voor de waarde van A( n ) wordt dus gegevens door:
van
1
A(n) 

cos( rx) dx
x 1
Deze integraal heeft een bepaalde waarde C (het doet er niet toe welke), die de bovengrens is voor de
waarde van A( n ) voor elke waarde van n.
Maar nu zien we een tegenspraak. Eerder hebben we aangetoond dat de uitdrukking
a 2 n 1 A(n)
n!
altijd een geheel getal is (als we aannemen dat
volgt ook dat dat gehele getal kleiner is dan

rationaal is). Maar omdat A( n ) kleiner dan C is,
a 2 n 1C
n!
Maar dat is onmogelijk omdat n! sneller groot wordt dan a
de verhouding kleiner dan 1 zal zijn.
2 n 1
, dus is er een waarde voor n waarboven
Dit toont aan dat A( n ) geen geheel getal kan zijn, wat in tegenspraak is met wat we vonden. Dus
moeten we aannemen dat  niet als quotiënt van twee gehele getallen te schrijven is.