Complexe functies, meetkundige afbeeldingen Een functie die

Complexe functies, meetkundige afbeeldingen
Een functie die complexe getallen afbeeldt op complexe getallen heet een complexe
functie. Sommige functies hebben een meetkundige betekenis:
 f(z) = 𝑧̅ en f(z) = - 𝑧̅ geven een spiegeling in de reële of imaginaire as.
 f(z) = 𝛼 ∙ 𝑧 is een rotatie over 𝜑 = arg(𝛼) radialen, gevolgd door een
vermenigvuldiging met factor |𝛼|.


f(z) = z + 𝛼 stelt een translatie voor over (𝑎𝑎1 ), waarbij 𝛼 = a1 + a2 ∙ i.
2
f(z) = Re(z) en f(z) = Im(z) zijn projecties op de reële of imaginaire as.
Veelterm, factorstelling, hoofdstelling van de algebra
Een functie P(z) = 𝛼𝑛 𝑧 𝑛 + 𝛼𝑛−1 𝑧 𝑛−1 + 𝛼𝑛−2 𝑧 𝑛−2 + ⋯ + 𝛼1 𝑧 + 𝛼0 met 𝛼𝑛 ≠ 0 heet een
veelterm in z.
Factorstelling: Als een veeltermfunctie P(z) van de graad n een nulpunt 𝛽 heeft, dan kun
je P(z) schrijven als P(z) = (z – 𝛽) ∙ Q(z), met Q(z) een veeltermfunctie van de graan n – 1.
Hoofdstelling van de algebra: Gegeven is een veelterm in ℂ:
P(z) = 𝛼𝑛 𝑧 𝑛 + 𝛼𝑛−1 𝑧 𝑛−1 + 𝛼𝑛−2 𝑧 𝑛−2 + ⋯ + 𝛼1 𝑧 + 𝛼0 met 𝛼𝑛 ≠ 0.
Dan zijn er n complexe getallen 𝛽1 , 𝛽2 , 𝛽3 , … , 𝛽𝑛 (niet noodzakelijk verschillend), zodat
P(z) geschreven kan worden als P(z) = 𝛼𝑛 (z - 𝛽1) (z - 𝛽2) (z - 𝛽3) ∙ … ∙ (z - 𝛽𝑛 ).
Formule van Euler, stelling van De Moivre
De uitdrukking 𝑒 𝑖𝜑 = cos 𝜑 + i sin 𝜑 heet de formule van Euler, waarbij e ≈ 2,71828188…
De stelling van De Moivre luidt: (cos 𝜑 + i sin 𝜑)n = cos 𝑛𝜑 + i sin 𝑛𝜑 met nℇℤ.
Je kunt:
 het beeld tekenen van een gegeven verzameling onder een complexe functie;
 een complexe vergelijking oplossen;
 een veelterm ontbinden met een deling.