Méér dan reële getallen Jaap Top

Méér dan reële getallen
Jaap Top
JBI-RuG & DIAMANT
[email protected]
21 maart 2017
1
2
Marten Toonder, verhaal ‘de minionen’ (1980)
3
4
5
Niccolò Tartaglia (1500–1557)
6
Tartaglia gebruikte vierkantswortels uit negatieve getallen.
Zo loste hij vergelijkingen als de volgende op:
x3 = 21x + 20.
Zijn methode, versimpeld weergegeven:
substitueer x = a + b, dan
x3 = (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
= 3ab(a + b) + a3 + b3
= 3abx + a3 + b3.
Bij ons: a, b leveren een oplossing als ab = 7 en a3 + b3 = 20.
7
(x3 = 21x + 20 volgens Tartaglia, vervolg.)
Oplossing(en): x = a + b waarbij ab = 7 en a3 + b3 = 20.
De condities impliceren a3b3 = 73 en a3 + b3 = 20,
dus a3, b3 zijn de twee oplossingen van X 2 − 20X + 73 = 0.
Wortelformule: ∆ = −3 × 182, dus oplossingen 10 ± 9
√
−3.
8
(x3 = 21x + 20 volgens Tartaglia, vervolg.)
Oplossing(en): x = a + b met, na eventueel a en b omwisselen,
√
3
ab = 7 en a = 10 + 9 −3.
Dit levert (zie verderop!) drie mogelijkheden:
• a = −2 +
√
−3, dan b = 7/a = −2 −
√
−3 en x = a + b = −4;
5 + 1 √−3, dan b = 7/a = 5 − 1 √−3 dus x = a + b = 5;
• a=2
2
2
2
√
√
1
3
1
3
• a = − 2 − 2 −3, dan b = 7/a = − 2 + 2 −3 dus x = −1.
9
Controle: inderdaad
(−4)3 = 21 × (−4) + 20,
53
= 21 × (5) + 20,
(−1)3 = 21 × (−1) + 20.
Dus ondanks dat de methode ”niet bestaande” getallen gebruikt,
leidt het tot correcte antwoorden (en niet alleen in dit voorbeeld!).
10
Twee manieren om complexe getallen te beschrijven:
√
algebraı̈sch, als uitdrukkingen a + b −1 met reële a, b;
meetkundig, als punten met coördinaten (a, b) in het xy-vlak.
11
Een complex getal is een uitdrukking van de vorm a + bi, met a
en b reële getallen, en i een nieuw symbool.
De verzameling van alle complexe getallen geven we aan met C.
Optellen en vermenigvuldigen in C: Laten z = a+bi en w = c+di
complexe getallen zijn. Dan
z + w = (a + bi) + (c + di) := (a + c) + (b + d)i
en
zw = (a + bi) · (c + di) := (ac − bd) + (ad + bc)i.
12
We vatten R op als een deel van C, door r ∈ R te zien als het
complexe getal r + 0i.
Dus C is een uitbreiding van R. Rekenen in R (optellen, aftrekken,
vermenigvuldigen, delen) breidt uit tot rekenen in C, met dezelfde
eigenschappen.
De rekenregels zeggen in het bijzonder dat i2 = −1.
Dus i is een wortel uit −1.
Leonhard Euler (1707–1783) voerde de notatie i in.
13
De complex geconjugeerde van een complex getal z = a + bi is
het complexe getal genoteerd als z̄, gegeven door
z̄ := a − bi.
Merk op dat voor elke z = a + bi 6= 0 het product zz̄ = a2 + b2
een positief reëel getal is. Er geldt
1
z̄
=
z
zz̄
en
w
wz̄
=
z
zz̄
In de praktijk kan hiermee snel een quotient van complexe getallen
in de vorm a + bi geschreven worden.
14
Voorbeelden:
1
2−i
2−i
2 1
=
=
= − i.
2+i
(2 + i)(2 − i)
5
5 5
Zo ook
3 + 5i
(3 + 5i)(1 − i)
=
= (3 + 5i)(1 − i)/2 = 4 + i.
1+i
(1 + i)(1 − i)
15
Deze algebraı̈sche benadering is afkomstig van Rafael Bombelli
(1526–1572), die probeerde iets zinvols te maken van de vreemde
methoden van Tartaglia en diens tijdgenoten.
16
17
Je kan ook meetkundig naar C kijken door z = a + bi te zien
als het punt (a, b) in het xy-vlak R2. Optellen in C is zo de
parallellogramwet voor het optellen van vectoren: a + bi optellen
bij c + di is het optellen van de vectoren met beginpunt (0, 0) en
eindpunt resp. (a, b) en (c, d).
Complexe conjugatie is het overgaan van (a, b) naar (a, −b), dus
het spiegelen in de x-as. In het bijzonder zie je zo, dat z = z̄ dan
en slechts dan, als z met een punt op de x-as correspondeert,
oftewel, als z ∈ R.
We spreken van het complexe vlak.
18
De formule z · z = a2 + b2 als z = a + bi laat zien, dat z · z gelijk is
aan het kwadraat van de afstand tussen (0, 0) en (a, b). Kortom,
met
q
√
|z| := z · z = a2 + b2
wordt een reëel getal gedefiniëerd dat in het meetkundige plaatje
de lengte van z (als vector) weergeeft. We noemen dit de absolute waarde van z. Voor reële z stemt dit overeen met de daar
gebruikelijke absolute waarde.
Er geldt |zw| = |z| · |w| en |z + w| ≤ |z| + |w|.
19
Door z ∈ C (mits z 6= 0) te delen door z’n absolute waarde |z|,
houden we een complex getal over met absolute waarde 1. Dit
ligt dus in het complexe vlak op de cirkel om 0 met straal 1.
Elk punt op die cirkel heeft coördinaten (cos α, sin α) waarbij α
de hoek is die de lijn door 0 en het punt maakt ten opzichte van
de positieve reële as (x-as).
De hoek α heet het argument van het complexe getal z, notatie:
arg(z).
Er geldt z = r · (cos α + (sin α)i) waarbij r = |z| en α = arg(z).
20
Notatie: eαi := cos α + (sin α)i. Dit is het complexe getal op de
eenheidscirkel, met argument gelijk aan α.
Merk op: e0i = 1 + 0i = 1, en ook voor de gebruikelijke e-macht
is e0 = 1.
Een berekening waarbij bekende goniometrische identiteiten worden gebruikt, laat zien
(cos α + (sin α)i) · (cos β + (sin β)i) = cos(α + β) + (sin(α + β))i.
Oftewel: eαi · eβi = eαi+βi.
21
Gegeven complexe getallen z en w, schrijf r = |z| en s = |w| en
α = arg(z) en β = arg(w). Dan
z · w = r · eαi · s · eβi = rs · e(α+β)i.
Meetkundig is vermenigvuldigen dus: de lengtes (absolute waarden) vermenigvuldigen, en de hoeken (argumenten) optellen.
22
√
Opnieuw ons Tartaglia voorbeeld: los op a3 = 10 + 9 −3.
a×a×a is: hoek arg(a) met 3 vermenigvuldigen, absolute waarde
|a| tot de derde macht nemen.
Hier: |a|3 =
q
102 + 3 · 92 =
9
En arg(a3) = arctan( 10
√
343, dus |a| =
√
7.
√
3) ≈ 1.0004 rad,
dus arg(a) ≈ 0.3335 rad (mod 2π/3). Dan:
√
7 · e0.3335i =
√
a ≈
7(cos(0.3335) + i sin(0.3335))
√
5
1
≈ 2.4999 + 0.8661 · i ≈ 2 + 2 −3,
en dat blijkt zelfs een exacte oplossing te zijn. De andere twee
oplossingen horen bij de overige mogelijkheden voor arg(a).
23
De accountant/boekhouder Jean Robert Argand (1768–1826)
uit Parijs schreef in 1806 een boek over het meetkundig interpreteren van C. Het complexe vlak heet ook wel het Argand
diagram.
Iets eerder, op 20 juni 1805 presenteerde William Morgan (de
grondlegger van het moderne actuariaat, 1750–1833) voor de
Royal Society in Londen het werk van de Franse priester AdrienQuentin Buée (1748–1826) die vanwege de Franse Revolutie
naar Engeland was gevlucht. Onderwerp: meetkundig interpreteren van negatieve getallen en complexe getallen.
De Noorse landmeter Caspar Wessel (1745–1818) gaf al in 1799
dezelfde meetkundige interpretatie. Maar hij schreef in het Deens...
24
Buée vermeldt dat al eerder, in 1750, H. Kühn (wiskundeleraar
uit Danzig) een meetkundige interpretatie van complexe getallen
gaf.
Buée is laatdunkend (“Ik denk niet dat ik hoef√te praten over
√
. . . . . . omdat hij daar veronderstelt dat −1 = − 1”), hij noemt
“Mr. Khun” (verkeerde naam), en hij verwijst naar het derde
nummer van de “Mémoires de Petersbourg” (verkeerde tijdschrift).
Toch had Heinrich Kühn (1690–1769) het prima begrepen. Euler
schreef hem in 1735 een serie brieven, bij gebrek aan een adres
maar naar de Danzigse (toen nog Königsberg) burgemeester
C.L.G. Ehler gestuurd. Onderwerp: hoe maak je, uitgaande
van de natuurlijke getallen, achtereenvolgens de negatieve, de
rationale, reële, en uiteindelijk complexe.
25
Het tijdschrift waarin Kühns artikel (pp. 170–223) verscheen
26
titelpagina van Kühns artikel
27
Plaatjes uit Kühns artikel
28
Titelpagina van Argand’s boek (1806)
29
Voor z = a + bi schrijven we ez = ea+bi := ea · ebi.
Voor a = 0 is dat de hiervoor gegeven ebi.
Voor b = 0 is dat de gewone, reële ea.
Er geldt ez+w = ez · ew .
Voor a = 0 en b = π staat er eπi = cos π + (sin π)i = −1, dus
eπi + 1 = 0.
Formule van Leonhard Euler (1707–1783).
30
Euler voerde ez anders in: hij schreef
ez = lim (1 +
n→∞
z n
) .
n
Invullen z = ix met x reëel, en gebruiken dat 1 ≈ cos(x/n) en
x/n ≈ sin(x/n) als n heel groot, brengt Euler dan, via de “formule
van de Moivre”
(cos(α) + i sin(α))n = cos(nα) + i sin(nα),
tot de conclusie eix = cos(x) + i sin(x).
Zie scholierentijdschrift ‘Pythagoras’, april 2011 (“De mooiste
formule ooit”).
31
Zwitserland, 1957 (Euler 250)
32
Wat commercieler, lovelymath.com, 2011:
33
Voorbeeld: de cosinusregel.
a2 = |beαi − c|2 = (beαi − c)(be−αi − c)
= b2 + c2 − bc(eαi + e−αi)
= b2 + c2 − 2bc cos α.
34
Toepassing/voorbeeld (H.W. Lenstra, Leiden)
Zie http://escherdroste.math.leidenuniv.nl/
Gegeven een figuur (tekening) in C. We spreken van een figuur
met een Droste effect als er een reëel getal r 6= ±1 is zodat de
figuur onder vermenigvuldigen met r in zichzelf overgaat.
35
Door de schaling over r bij een Droste effect te combineren
met een rotatie over α, krijg je een figuur dat in zichzelf wordt
overgevoerd onder vermenigvuldigen met r · eαi.
Voorbeeld: Escher’s Prentententoonstelling (1956): r ≈ 22, 6 en
α ≈ 2, 75, dus invariant onder verm. met ≈ −20, 89 + 8, 63i.
36
Stelling: Elke veelterm f (z) over C van positieve graad heeft een
nulpunt in C.
Dit heet ‘hoofdstelling van de algebra’. O.a. bewezen door Argand (1806) en door Carl Friedrich Gauss (1777–1855) in diens
proefschrift (1799).
Bewijsschets: zou f (z) geen nulpunt hebben, dan is 1/|f (z)|
overal gedefinieerd. Deze neemt een maximum aan. Na schuiven
z 7→ z + a: maximum voor z = 0. Na ook nog f (z) delen door
f (0): mag aannemen f (0) = 1.
Schrijf f (z) = 1 + reαiz k +hogere machten, met k > 0, r > 0.
Door voor z een handig gekozen waarde · r−1/k eβi in te vullen,
kan je zien dat de aanname ‘maximum in z = 0’ tot een tegenspraak leidt.
37
38
Gevolg: Op R2 of R3 of algemener Rn in analogie met C “=” R2,
met R ⊂ Rn als (zeg) de vectoren {(x, 0, . . . , 0)}, naast de gewone
optelling een vermenigvuldiging maken waarbij de gebruikelijke
regels gelden (associatief, distributief, commutatief, en ieder element 6= 0 heeft een inverse), lukt alleen als n = 1 (en dus Rn = R)
en als n = 2 (en dan R2 = C).
Oorzaak: hebben we zo’n structuur op Rn, dan voldoet elke
v ∈ Rn aan een vergelijking v m + am−1v m−1 + . . . + a0 = 0 waarbij
alle aj ∈ R en bovendien is xn + am−1xm−1 + . . . + a0 over R niet
in factoren van lagere graad te ontbinden. Het resultaat van
Gauss impliceert hier m ≤ 2, en daarmee is het bewijs zonder
veel moeite af te maken.
39
Dus na R en R2 = C niks “meer”?!
Toch wel! De Ierse wiskundige/natuurkundige/sterrenkundige
William Rowan Hamilton, en eigenlijk drie jaar voor hij zijn vondst
deed ook al de Franse wiskundige (en bankier) Benjamin Olinde
Rodrigues, beseften dat als de voorwaarde van ‘commutativiteit’
(v · w = w · v) wordt losgelaten, dan bestaat ook op R4 een
vermenigvuldiging met alle nog resterende eigenschappen.
Vanwege de ‘4’ in R4 sprak Hamilton van quaternionen.
40
Benjamin Olinde Rodrigues (1795–1851)
41
William Rowan Hamilton (1805–1865)
42
Het verhaal over Hamiltons ontdekking van de quaternionen is
beroemd: naar eigen zeggen, bedacht hij ze tijdens een wandeling met z’n vrouw Helen Maria Bayly langs het Royal Canal (Iers:
An Chanáil Rı́oga) in Dublin op maandag 16 Oktober 1843.
Hij kerfde het resultaat op een van de stenen van een brug over
dat kanaal (Brougham Bridge, nu Broome Bridge).
Tegenwoordig staat daar een gedenksteen.
43
44
45
46
47
Hamilton: begin niet met één, maar met drie (onafhankelijke)
wortels uit −1. Die noem je i, j en k.
Een punt (a, b, c, d) ∈ R4 noteren we als a + bi + cj + dk.
Vermenigvuldigen ervan gaat met de regels
i2 = j 2 = k2 = −1, ij = −ji = k, jk = −kj = i, ki = −ik = j.
48
Zo kom je tot
(a + bi + cj + dk) · (a0 + b0i + c0j + d0k)
=
(aa0 − bb0 − cc0 − dd0
+
(ab0 + ba0 + cd0 − dc0)i
+
(ac0 − bd0 + ca0 + db0)j
+
(ad0 + bc0 − cb0 + da0)k.
49
De geconjugeerde van z = a + bi + cj + dk definiëren we als
z̄ = a − bi − cj − dk.
Dan z · z̄ = a2 + b2 + c2 + d2, dit is voor elke quaternion z een
reëel getal, en het is zelfs 6= 0 als z 6= 0.
Zo is, net als bij complexe getallen, te zien dat elke z 6= 0 een
inverse heeft:
1
−1
· z̄.
z
=
z · z̄
50
51
Als eerbetoon aan W.R. Hamilton worden de quaternionen aangeduid met H.
We hebben dus
R ⊂ C ⊂ H.
52
Quaternionen worden toegepast in Natuurkunde, in Robotica,
in Getaltheorie en veel meer. Zoals complexe getallen allerlei
meetkunde in R2 kunnen beschrijven, geldt dat voor quaternionen
en meetkunde in R3 en R4.
Voorbeeld: realiseer R3 als de ruimte R · i + R · j + R · k ⊂ H. Alle
afbeeldingen R3 → R3 die de oorsprong op z’n plek houden en
die zowel afstand- als oriëntatie behouden, zijn weer te geven als
v 7→ z · v · z −1
voor een z ∈ H.
53
In H hebben we behalve ±i, ±j, ±k nog veel meer wortels uit −1:
Stel z = a + bi + cj + dk voldoet aan z 2 = −1.
Dan volgt dat z · z̄ = 1 en dus z = −z̄.
Conclusie: a = 0 en b2 + c2 + d2 = 1, en elke z met deze eigenschappen is een oplossing! (De oplossingen vormen de rand van
een bol)
54
Houdt het na C en H dan wel op?
Ja, als we niet meer eigenschappen willen kwijtraken dan alleen
commutativiteit.
Nee, als we bovendien bereid zijn de associativiteit
(u · v) · w = u · (v · w) op te offeren. Daarmee kan op R8 een
“Oktaven” vermenigvuldiging worden gezet, eerst bedacht in
1843 door Hamiltons vriend John Thomas Graves (1806–1870),
maar vooral bekend geworden door de Engelsman Arthur Cayley
(1821–1895).
En daarmee houdt het werkelijk op. . .
55
Kees Stip (‘Trijntje Fop’, 1913–2001): Op een bok
In Siddeburen was een bok
die machtsverhief en worteltrok.
Die bok heeft onlangs onverschrokken
de wortel uit zichzelf getrokken,
waarna hij zonder ongerief
zich weer in het kwadraat verhief.
Maar ’t feit waardoor hij voort zal leven
is, dat hij achteraf nog even
de massa die hem huldigde
met vijf vermenigvuldigde.
56
Siddeburen, bok gemaakt door de Groningse beeldhouwer
Anton van Dijk
57