Complexe getallen Jaap Top

Complexe getallen
Jaap Top
JBI-RuG & DIAMANT
[email protected]
16 december 2014
(studiedag voor leraren wiskunde)
1
(“er” verwijst naar Leopold Kronecker),
uit een tekst (1893) na diens overlijden geschreven door
Heinrich Weber,
Jahresberichte der Deutschen Mathematiker-Vereinigung.
2
1823–1891
3
”mensenwerk” over
√
−1:
ontstaansgeschiedenis en toepassingen.
uitvoeriger historie en meer/andere toepassingen:
F. van der Blij, J. van der Craats, H.J.A. Duparc, J.T. Fokkema,
A.W. Grootendorst en J.A. van Maanen,
Vacantiecursus 1983 Complexe getallen, CWI Syllabus 15 (1987).
http://www.math.rug.nl/∼top/CWISyllabus15.pdf
4
5
Marten Toonder, verhaal ‘de minionen’ (1980)
6
7
Niccolò Tartaglia (1500–1557)
8
geromantiseerde versie:
(Dieter Jörgensen, 2000)
9
Tartaglia gebruikte vierkantswortels uit negatieve getallen.
Zo loste hij vergelijkingen als de volgende op:
x3 = 21x + 20.
Zijn methode, versimpeld weergegeven:
substitueer x = a + b, dan
x3 = (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
= 3ab(a + b) + a3 + b3
= 3abx + a3 + b3.
Bij ons: a, b leveren een oplossing als ab = 7 en a3 + b3 = 20.
10
(x3 = 21x + 20 volgens Tartaglia, vervolg.)
Oplossing(en): x = a + b waarbij ab = 7 en a3 + b3 = 20.
De condities impliceren a3b3 = 73 en a3 + b3 = 20,
dus a3, b3 zijn de twee oplossingen van X 2 − 20X + 73 = 0.
Wortelformule: ∆ = −3 × 182, dus oplossingen 10 ± 9
√
−3.
11
(x3 = 21x + 20 volgens Tartaglia, vervolg.)
Oplossing(en): x = a + b met, na eventueel a en b omwisselen,
√
3
ab = 7 en a = 10 + 9 −3.
Dit levert (zie verderop!) drie mogelijkheden:
• a = −2 +
√
−3, dan b = 7/a = −2 −
√
−3 en x = a + b = −4;
5 + 1 √−3, dan b = 7/a = 5 − 1 √−3 dus x = a + b = 5;
• a=2
2
2
2
√
√
1
3
1
3
• a = − 2 − 2 −3, dan b = 7/a = − 2 + 2 −3 dus x = −1.
12
Controle: inderdaad geldt
(−4)3 = 21 × (−4) + 20 en
53 = 21 × 5 + 20 en (−1)3 = 21 × (−1) + 20.
Dus ondanks dat de methode ”niet bestaande” getallen gebruikt,
leidt het tot correcte antwoorden (en niet alleen in dit voorbeeld!).
13
Twee manieren om complexe getallen te beschrijven:
√
algebraı̈sch, als uitdrukkingen a + b −1 met reële a, b;
meetkundig, als punten met coördinaten (a, b) in het xy-vlak.
14
Een complex getal is een uitdrukking van de vorm a + bi, met a
en b reële getallen, en i een nieuw symbool.
Is z = a + bi een complex getal, dan heet a ∈ R het reële deel van
z en b ∈ R het imaginaire deel van z.
Notatie Re(z) := a resp. Im(z) := b.
De verzameling van alle complexe getallen geven we aan met C.
Optellen en vermenigvuldigen in C: Laten z = a+bi en w = c+di
complexe getallen zijn. Dan
z + w = (a + bi) + (c + di) := (a + c) + (b + d)i
en
zw = (a + bi) · (c + di) := (ac − bd) + (ad + bc)i.
15
We vatten R op als een deel van C, door r ∈ R te zien als het
complexe getal r + 0i.
Evenzo hebben we een zekere deelverzameling van de complexe
getallen die we de zuiver imaginaire getallen noemen. Dit zijn
de complexe getallen van de vorm 0 + bi. Zo’n zuiver imaginair
getal schrijven we kortweg als bi.
De rekenregels zeggen in het bijzonder dat (bi)(di) = −bd, dus
het product van twee zuiver imaginaire getallen is een reëel getal.
Voor b = d = 1 staat hier dat i2 = −1.
Dus i is een wortel uit −1. Leonhard Euler (1707–1783) voerde
de notatie i in.
16
Elk complex getal z 6= 0 heeft een inverse; dat is een w ∈ C
zodat zw = 1. Deze inverse wordt, net als in het reële geval,
geschreven als z −1. Er geldt
a
b
(a + bi)−1 = 2
−
i,
2
2
2
a +b
a +b
zoals je nagaat door met a + bi te vermenigvuldigen.
Dit stelt ons in staat om complexe getallen op elkaar te delen:
z/w = z · w−1 (mits w 6= 0).
17
De complex geconjugeerde van een complex getal z = a + bi is
het complexe getal genoteerd als z̄, gegeven door
z̄ := a − bi.
Merk op dat voor elke z = a + bi 6= 0 het product zz̄ = a2 + b2
een positief reëel getal is. Er geldt
1
z̄
=
z
zz̄
en
w
wz̄
=
z
zz̄
In de praktijk kan hiermee snel een quotient van complexe getallen
in de vorm a + bi geschreven worden.
18
Voorbeelden:
1
2−i
2−i
2 1
=
=
= − i.
2+i
(2 + i)(2 − i)
5
5 5
Zo ook
3 + 5i
(3 + 5i)(1 − i)
=
= (3 + 5i)(1 − i)/2 = 4 + i.
1+i
(1 + i)(1 − i)
19
Deze algebraı̈sche benadering is afkomstig van Rafael Bombelli
(1526–1572), die probeerde iets zinvols te maken van de vreemde
methoden van Tartaglia en diens tijdgenoten.
20
Je kan op een meetkundige manier naar C kijken door z = a + bi
te zien als het punt (a, b) in het xy-vlak R2. Optellen in C is
zo de parallellogramwet voor het optellen van vectoren: a + bi
optellen bij c + di is het optellen van de vectoren met beginpunt
(0, 0) en eindpunt resp. (a, b) en (c, d).
Complexe conjugatie is het overgaan van (a, b) naar (a, −b), dus
het spiegelen in de x-as.
We spreken van het complexe vlak.
21
De formule z · z = a2 + b2 als z = a + bi laat zien, dat z · z gelijk is
aan het kwadraat van de afstand tussen (0, 0) en (a, b). Kortom,
met
q
√
|z| := z · z = a2 + b2
wordt een reëel getal gedefiniëerd dat in het meetkundige plaatje
de lengte van z (als vector) weergeeft. We noemen dit de absolute waarde van z. Voor reële z stemt dit overeen met de gewone
absolute waarde.
Er geldt |zw| = |z| · |w| en |z + w| ≤ |z| + |w|.
22
Door z ∈ C (mits z 6= 0) te delen door z’n absolute waarde |z|,
houden we een complex getal over met absolute waarde 1. Dit
ligt dus in het complexe vlak op de cirkel om 0 met straal 1.
Elk punt op die cirkel heeft coördinaten (cos α, sin α) waarbij α
de hoek is die de lijn door 0 en het punt maakt ten opzichte van
de positieve reële as (x-as).
De hoek α heet het argument van het complexe getal z, notatie:
arg(z).
Er geldt z = r · (cos α + (sin α)i) waarbij r = |z| en α = arg(z).
23
De accountant/boekhouder Jean Robert Argand (1768–1826)
uit Parijs schreef in 1806 een boek over het meetkundig interpreteren van C. Het complexe vlak heet ook wel het Argand
diagram.
Iets eerder, op 20 juni 1805 presenteerde William Morgan (de
grondlegger van het moderne actuariaat, 1750–1833) voor de
Royal Society in Londen het werk van de Franse priester AdrienQuentin Buée (1748–1826) die vanwege de Franse Revolutie
naar Engeland was gevlucht. Onderwerp: meetkundig interpreteren van negatieve getallen en complexe getallen.
De Noorse landmeter Caspar Wessel (1745–1818) gaf al in 1799
dezelfde meetkundige interpretatie. Maar hij schreef in het Deens...
24
Buée vermeldt dat al eerder, in 1750, H. Kühn (wiskundeleraar
uit Danzig) een meetkundige interpretatie van complexe getallen
gaf.
Buée is laatdunkend (“Ik denk niet dat ik hoef√te praten over
√
. . . . . . omdat hij daar veronderstelt dat −1 = − 1”), hij noemt
“Mr. Khun” (verkeerde naam), en hij verwijst naar het derde
nummer van de “Mémoires de Petersbourg” (verkeerde tijdschrift).
Toch had deze leraar het prima begrepen. Euler schreef hem
in 1735 een serie brieven, bij gebrek aan een adres maar naar
de Danzigse burgemeester C.L.G. Ehler gestuurd. Onderwerp:
hoe maak je, uitgaande van de natuurlijke getallen, achtereenvolgens de negatieve, de rationale, reële, en uiteindelijk complexe.
Vergelijk met Kroneckers uitspraak!
25
Het tijdschrift waarin Kühns artikel (pp. 170–223) verscheen
26
titelpagina van Kühns artikel
27
Plaatjes bij Kühns artikel
28
Notatie: eαi := cos α + (sin α)i. Dit is het complexe getal op de
eenheidscirkel, met argument gelijk aan α.
Merk op: e0i = 1 + 0i = 1, en ook voor de gebruikelijke e-macht
is e0 = 1.
Een berekening waarbij bekende goniometrische identiteiten worden gebruikt, laat zien
(cos α + (sin α)i) · (cos β + (sin β)i) = cos(α + β) + (sin(α + β))i.
Oftewel: eαi · eβi = eαi+βi.
29
Gegeven complexe getallen z en w, schrijf r = |z| en s = |w| en
α = arg(z) en β = arg(w). Dan
z · w = r · eαi · s · eβi = rs · e(α+β)i.
Meetkundig is vermenigvuldigen dus: de lengtes (absolute waarden) vermenigvuldigen, en de hoeken (argumenten) optellen.
30
Voor z = a + bi schrijven we ez = ea+bi := ea · ebi.
Voor a = 0 is dat de hiervoor gegeven ebi.
Voor b = 0 is dat de gewone, reële ea.
Er geldt ez+w = ez · ew .
Voor a = 0 en b = π staat er eπi = cos π + (sin π)i = −1, dus
eπi + 1 = 0.
Formule gegeven door Euler.
31
Euler voerde ez anders in: hij schreef
ez = lim (1 +
n→∞
z n
) .
n
Invullen z = ix met x reëel, en gebruiken dat 1 ≈ cos(x/n) en
x/n ≈ sin(x/n) als n heel groot, brengt Euler dan, via de “formule
van de Moivre”
(cos(α) + i sin(α))n = cos(nα) + i sin(nα),
tot de conclusie eix = cos(x) + i sin(x).
Zie scholierentijdschrift ‘Pythagoras’, april 2011 (“De mooiste
formule ooit”).
32
Zwitserland, 1957 (Euler 250)
33
Wat commercieler, lovelymath.com, 2011:
34
√
Voorbeeld: los op a3 = 10 + 9 −3.
a×a×a is: hoek arg(a) met 3 vermenigvuldigen, absolute waarde
|a| tot de derde macht nemen.
Hier: |a|3 =
q
102 + 3 · 92 =
9
En arg(a3) = arctan( 10
√
343, dus |a| =
√
7.
√
3) ≈ 1.0004 rad,
dus arg(a) ≈ 0.3335 rad (mod2π/3).
√
√
1
5
0.3335i
7·e
≈ 2 + 2 −3, en dat blijkt zelfs een exacte
Dan a ≈
oplossing te zijn. De andere twee oplossingen horen bij de overige
mogelijkheden voor arg(a).
Voorbeeld: de cosinusregel.
a2 = |beαi − c|2 = (beαi − c)(be−αi − c)
= b2 + c2 − bc(eαi + e−αi)
= b2 + c2 − 2bc cos α.
35
(H.W. Lenstra, Leiden)
Zie http://escherdroste.math.leidenuniv.nl/
Gegeven een figuur (tekening) in C. We spreken van een Droste
effect als er een reëel getal r 6= ±1 is zodat de figuur onder
vermenigvuldigen met r in zichzelf overgaat.
37
Door de schaling over r bij een Droste effect te combineren
met een rotatie over α, krijg je een figuur dat in zichzelf wordt
overgevoerd onder vermenigvuldigen met r · eαi.
Voorbeeld: Escher’s Prentententoonstelling (1956), waarbij r ≈
22, 6 en α ≈ 2, 75.
38
Gehelen van Gauss: Z[i], alle m + ni met m, n ∈ Z.
Met z, w ∈ Z[i] zijn ook z ± w en z · w in Z[i].
De enige z ∈ Z[i] waarvoor ook 1
z ∈ Z[i], zijn 1, −1, i, −i.
‘Priemen van Gauss’ zijn de m + ni ∈ Z[i] die niet verder te
ontbinden zijn: m + ni 6= 1, −1, i, −i en als m + ni = z · w voor
zekere z, w ∈ Z[i], dan zit ofwel z, ofwel w in {1, −1, i, −i}.
Voorbeeld: 1 + i, 3, 2 + i, 1 + 2i, 7, 11, 2 + 3i, 4 + i zijn
priemen van Gauss.
39
Ter gelegenheid van het International Congress of Mathematicians in Amsterdam in 1954, liet de wis– en natuurkundige Balthasar
van der Pol (1889–1959) door linnenfabrikant E.J.F. van Dissel & Zn (Eindhoven) servetten maken met priemen van Gauss
erop.
40
commerciële priemen van Gauss. . .
41
Bij een klassieke benadermethode voor π = 3, 14159 · · · spelen
de gehelen van Gauss een rol.
Basis: tan(π/4) = 1, dus π/4 = arctan(1). Nu nog die arctangens nauwkeurig benaderen...
42
Begin met
1
2 + x4 − x6 + x8 − . . .
=
1
−
x
1 + x2
(een meetkundige reeks).
Hiervan de primitieve:
1
1
1
1
arctan(x) = x − x3 + x5 − x7 + x9 − . . .
3
5
7
9
Invullen x = 1 geeft
1
1 1
1
+ − + − . . .),
3
5 7
9
een formule bedacht door de Schotse wis– en sterrenkundige
James Gregory (1638–1675).
π = 4 × (1 −
43
Voorbeeld: 100 termen geeft π ≈ 3, 1316 · · ·,
1000 termen geeft π ≈ 3, 1406 · · ·,
10000 termen geeft π ≈ 3, 14149 · · ·.
De gebruikte reeks convergeert erg langzaam.
Een oplossing hiervoor bedacht de Engelse sterrenkundige John
Machin (1680–1751).
44
Er blijkt te gelden
(5 + i)4 = (2 + 2i)(239 + i).
Omdat vermenigvuldigen van complexe getallen o.a. betekent:
hoeken optellen, is dus
1
π
1
4 arctan( ) = + arctan(
).
5
4
239
En dan
π = 16 arctan(1/5) − 4 arctan(1/239) =
4 ) − 1 ( 16 − 4 ) + 1 ( 16 − 4 ) − 1 ( 16 − 4 ) + . . .
( 16
−
5
239
3 53
5 55
7 57
2393
2395
2397
Iets na 1700 vond Machin hiermee ruim 100 decimalen van π,
dat kan met minder dan 80 termen van de reeks.
45
Kwadraten van Gauss
46
Derde machten van Gauss
47