De wortel uit min één Jaap Top

De wortel uit min één
Jaap Top
IWI-RuG & DIAMANT
[email protected]
20 maart 2007
1
Marten Toonder, verhaal ‘de minionen’ (1980)
2
3
4
5
Twee manieren om complexe getallen te beschrijven:
√
algebraı̈sch, als uitdrukkingen a + b −1 met reële a, b
meetkundig, als punten met coördinaten (a, b) in het xy-vlak
We gaan op beide in, en volgen daarbij de tekst uit het collegedictaat Differentiaal- en integraalrekening, te vinden op
http://www.math.rug.nl/~top/diffint.pdf
6
Alternatief, uitstekende inleiding:
http://nl.wikipedia.org/wiki/Complex_getal
7
Een complex getal is een uitdrukking van de vorm a + bi, met a
en b reële getallen, en i een nieuw symbool
Is z = a + bi een complex getal, dan heet a ∈ R het reële deel van
z en b ∈ R het imaginaire deel van z. Notatie Re(z) := a resp.
Im(z) := b
De verzameling van alle complexe getallen geven we aan met C
Optellen en vermenigvuldigen in C: Laten z = a+bi en w = c+di
complexe getallen zijn. Dan
z + w = (a + bi) + (c + di) := (a + c) + (b + d)i
en
zw = (a + bi) · (c + di) := (ac − bd) + (ad + bc)i
8
We vatten R op als een deel van C, door r ∈ R te zien als het
complexe getal r + 0i. Evenzo hebben we een zekere deelverzameling van de complexe getallen die we de zuiver imaginaire
getallen noemen. Dit zijn de complexe getallen van de vorm
0 + bi. Zo’n zuiver imaginair getal schrijven we kortweg als bi.
De rekenregels zeggen in het bijzonder dat (bi)(di) = −bd, dus
het product van twee zuiver imaginaire getallen is een reëel getal.
Voor b = d = 1 staat hier dat i2 = −1, dus inderdaad hebben we
zo een systeem waarin x2 + 1 = 0 een oplossing bezit.
9
Optellen en vermenigvuldigen in C voldoet aan voor R al welbekende regels. Bijvoorbeeld z + w = w + z en zw = wz en
ook (z + w)z2 = zz2 + wz2. Complexe getallen z hebben een
tegengestelde −z, en aftrekken van complexe getallen (z − w)
betekent net als voor R dat we bij z de tegengestelde van w
optellen
Minder evident: elk complex getal z 6= 0 heeft een inverse; dat
is een w ∈ C zodat zw = 1. Deze inverse wordt, net als in het
reële geval, geschreven als z −1. Er geldt
a
b
(a + bi)−1 = 2
−
i,
2
2
2
a +b
a +b
zoals je nagaat door met a + bi te vermenigvuldigen
Dit stelt ons in staat om complexe getallen op elkaar te delen:
z/w = z · w−1 (mits w 6= 0)
10
De complex geconjugeerde van een complex getal z = a + bi is
het complexe getal genoteerd als z̄, gegeven door
z̄ := a − bi.
Merk op dat voor elke z = a + bi 6= 0 het product zz̄ = a2 + b2
een positief reëel getal is. Er geldt
1
z̄
=
z
zz̄
en
w
wz̄
=
z
zz̄
Dit zijn formules waarmee in de praktijk snel een quotient van
compleze getallen in de vorm a + bi geschreven kan worden.
11
Voorbeelden:
1
2−i
2−i
2 1
=
=
= − i
2+i
(2 + i)(2 − i)
5
5 5
Zo ook
3 + 5i
(3 + 5i)(1 − i)
=
= (3 + 5i)(1 − i)/2 = 4 + i
1+i
(1 + i)(1 − i)
12
Is z = a + bi, dan volgt z + z̄ = 2a en z − z̄ = 2bi. Dit levert
formules voor het reële en het complexe deel van z, namelijk
z + z̄
Re(z) =
2
en
z − z̄
Im(z) =
.
2i
13
Deze algebraı̈sche benadering is afkomstig van Rafael Bombelli
(1526–1572)
14
Je kan op een meetkundige manier naar C kijken door z = a + bi
te zien als het punt (a, b) in het xy-vlak R2. Optellen in C is
zo de parallellogramwet voor het optellen van vectoren: a + bi
optellen bij c + di is het optellen van de vectoren met beginpunt
(0, 0) en eindpunt resp. (a, b) en (c, d)
Complexe conjugatie is het overgaan van (a, b) naar (a, −b), dus
het spiegelen in de x-as. In het bijzonder zie je zo, dat z = z̄ dan
en slechts dan, als z met een punt op de x-as correspondeert,
oftewel, als z ∈ R
We spreken van het complexe vlak
15
De formule z · z = a2 + b2 als z = a + bi laat zien, dat z · z gelijk is
aan het kwadraat van de afstand tussen (0, 0) en (a, b). Kortom,
met
q
√
|z| := z · z = a2 + b2
wordt een reëel getal gedefiniëerd dat in het meetkundige plaatje
de lengte van z (als vector) weergeeft. We noemen dit de absolute waarde van z. Voor reële z stemt dit overeen met de daar
gebruikelijke absolute waarde
Er geldt |zw| = |z| · |w| en |z + w| ≤ |z| + |w|
16
Door z ∈ C (mits z 6= 0) te delen door z’n absolute waarde |z|,
houden we een complex getal over met absolute waarde 1. Dit
ligt dus in het complexe vlak op de cirkel om 0 met straal 1
Elk punt op die cirkel heeft coördinaten (cos α, sin α) waarbij α
de hoek is die de lijn door 0 en het punt maakt ten opzichte van
de positieve reële as (x-as)
De hoek α heet het argument van het complexe getal z, notatie:
arg(z)
Er geldt z = r · (cos α + (sin α)i) waarbij r = |z| en α = arg(z)
17
De meetkundige interpretatie van C wordt toegeschreven aan de
accountant/boekhouder Jean Robert Argand (1768–1826) uit
Parijs. Hij schreef er in 1806 een boek over
Hij voerde het begrip ‘absolute waarde’ van een complex getal
in. Het complexe vlak heet ook wel het Argand diagram
Eerder gaf de Noorse landmeter Caspar Wessel (1745–1818) in
1799 dezelfde meetkundige interpretatie. Maar hij schreef in het
Deens
18
Pagina uit een engelse vertaling van het boek van Argand
19
Notatie: eαi := cos α + (sin α)i. Dit is het complexe getal op de
eenheidscirkel, met argument gelijk aan α.
Merk op: e0i = 1 + 0i = 1, en ook voor de gebruikelijke e-macht
is e0 = 1.
Een berekening waarbij bekende goniometrische identiteiten worden gebruikt, laat zien
(cos α + (sin α)i) · (cos β + (sin β)i) = cos(α + β) + (sin(α + β))i
Oftewel: eαi · eβi = eαi+βi
20
Gegeven complexe getallen z en w, schrijf r = |z| en s = |w| en
α = arg(z) en β = arg(w). Dan
z · w = r · eαi · s · eβi = rs · e(α+β)i.
Meetkundig is vermenigvuldigen dus: de lengtes (absolute waarden) vermenigvuldigen, en de hoeken (argumenten) optellen
21
Voor z = a + bi schrijven we ez = ea+bi := ea · ebi
Voor a = 0 is dat de hiervoor gegeven ebi
Voor b = 0 is dat de gewone, reële ea
Er geldt ez+w = ez · ew
Voor a = 0 en b = π staat er eπi = cos π + (sin π)i = −1, dus
eπi + 1 = 0
Formule van Leonard Euler (1707–1783)
22
Euler voerde ez anders in: hij schreef
ex = 1+x+x2/2+x3/6+x4/24+x5/120+x6/720+x7/5040+. . .
(de volgende term heeft steeds als afgeleide de vorige.)
Gelijkheid omdat beide kanten voor x = 0 waarde 1 geven, en ze
voldoen aan y 0 = y
Nu invullen x = bi:
bi
2
4
6
3
5
e = 1 − b /2 + b /24 − b /720 + . . . + b − b /6 + b /120 − . . . i
Hier staat resp. de reeksontwikkeling voor cos b en voor sin b
23
Toepassing (M.C. Escher)
Zie http://escherdroste.math.leidenuniv.nl/
Gegeven een figuur (tekening) in C. We spreken van een figuur
met een Droste effect als er een reëel getal r 6= ±1 is zodat de
figuur onder vermenigvuldigen met r in zichzelf overgaat
24
Door de schaling over r bij een Droste effect te combineren
met een rotatie over α, krijg je een figuur dat in zichzelf wordt
overgevoerd onder vermenigvuldigen met r · eαi.
Voorbeeld: Prentententoonstelling (1956), waarbij r ≈ 22, 6 en
α ≈ 2, 75
25
Stelling: Elke veelterm f (z) over C van positieve graad heeft een
nulpunt in C
Dit heet ‘hoofdstelling van de algebra’.
Argand en door Gauss
O.a.
bewezen door
Bewijsschets: zou f (z) geen nulpunt hebben, dan is 1/|f (z)|
overal gedefinieerd. Deze neemt een maximum aan. Na schuiven
z 7→ z + a: maximum voor z = 0. Na ook nog f (z) delen door
f (0): mag aannemen f (0) = 1
Schrijf f (z) = 1 + reαiz k +hogere machten, met k > 0, r > 0.
Door voor z een handig gekozen waarde · r−1/k eβi in te vullen,
kan je zien dat de aanname ‘maximum in z = 0’ tot een tegenspraak leidt
26
Gehelen van Gauss: Z[i], alle m + ni met m, n ∈ Z
Met z, w ∈ Z[i] zijn ook z ± w en z · w in Z[i]
De enige z ∈ Z[i] waarvoor ook 1
z ∈ Z[i], zijn 1, −1, i, −i
In Z[i] kan je ‘delen met rest’: zijn z, w ∈ Z[i] met w 6= 0, dan
bestaan q, r ∈ Z[i] zodat z = qw + r en |r| < |w|
Bewijs: schrijf z/w = a + bi en rondt a, b af naar de dichtst
bijzijnde gehelen m, n. Neem q = m + ni en r = zq
− qw. Dan
1 < 1,
+
|r|/|w| = |r/w| = |(z/w) − q| = |(a − m) + (b − n)i| ≤ 1
4
4
dus |r| < |w|
27
‘Priemen van Gauss’ zijn de m + ni ∈ Z[i] die niet verder te
ontbinden zijn: m + ni 6= 1, −1, i, −i en als m + ni = z · w voor
zekere z, w ∈ Z[i], dan zit ofwel z, ofwel w in {1, −1, i, −i}
Uit ‘deling met rest’ volgt, dat elke z ∈ Z[i] met z 6= 0 te schrijven
is als
e
en
z = uπ11 · . . . · πn
met n ≥ 0 en u = ±1, ±i en de πj priemen van Gauss
Voorbeeld: 1 + i, 3, 2 + i, 1 + 2i, 7, 11, 2 + 3i, 3 + 2i, 1 + 4i, 4 + i
zijn priemen van Gauss
28
Is z = a + bi ∈ Z[i], dan is N (z) := z · z = a2 + b2 een geheel getal
≥ 0.
Er geldt N (z) = 1 alleen als z = 1, −1, i, −i en N (z) = 0 alleen
voor z = 0
Ook is N (z · w) = z · w · z · w = (z · z) · (w · w) = N (z) · N (w)
Hieruit volgt, dat als N (w) een priemgetal is, dan is w een priem
van Gauss
Elk priemgetal p van de vorm 4k + 1 is te schrijven als som van
twee kwadraten: p = a2 + b2 = (a + bi)(a − bi). Hierin zijn dus
a ± bi priemen van Gauss
29
Elk priemgetal p van de vorm 4k + 3 is zelf een priem van Gauss.
Immers, zou p = z · w waarbij zowel z als w niet ±1, ±i zijn, dan
is N (z) > 1 en N (w) > 1 en N (z)N (w) = N (p) = p2. Er volgt
N (z) = N (w) = p. Dit geeft een oplossing van de vergelijking
a2 + b2 = p met gehele a, b.
Eentje van a, b is oneven en de andere even. Van de kwadraten
a2, b2 is er daarom een deelbaar door 4, de andere is van de vorm
(2` + 1)2 = 4(`2 + `) + 1. De som a2 + b2 is dus van de vorm
4k+1, tegenspraak. Dus inderdaad is zo’n p een priem van Gauss
30
Ter gelegenheid van het International Congress of Mathematicians in Amsterdam in 1954, liet de wis– en natuurkundige Balthasar
van der Pol (1889–1959) door linnenfabrikant E.J.F. van Dissel & Zn (Eindhoven) theedoeken maken met priemen van Gauss
erop.
31
32
Op http://www.alpertron.com.ar/GAUSSPR.HTM
33
Kees Stip (‘Trijntje Fop’): Op een bok
In Siddeburen was een bok
die machtsverhief en worteltrok.
Die bok heeft onlangs onverschrokken
de wortel uit zichzelf getrokken,
waarna hij zonder ongerief
zich weer in het kwadraat verhief.
Maar ’t feit waardoor hij voort zal leven
is, dat hij achteraf nog even
de massa die hem huldigde
met vijf vermenigvuldige.
34
Siddeburen, bok gemaakt door Ron van Dijk
35