6 Complexe getallen

WIS6
6
1
Complexe getallen
6.1
Definitie
Rekenen met paren
De vergelijking x2 + 1 = 0 heeft geen oplossing in de verzameling R der reële getallen
(vierkantsvergelijking met negatieve discriminant). We definiëren nu een grotere verzameling waarin deze vergelijking wel opgelost kan worden.
Op de verzameling R × R van geordende paren van reële getallen definiëren we een
optelling en vermenigvuldiging door
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)
Voor paren van de vorm (a, 0) komen de optelling en vermenigvuldiging met de gewone
overeen:
(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0)
(a, 0) · (c, 0) = (ac, 0)
Een paar (a, 0) identificeren we met het reële getal a .
Het getal i
Voor het paar (0, 1) kiezen we de notatie i . Dan geldt
i2
{definitie van i }
(0, 1) · (0, 1)
=
{definitie van vermenigvuldiging}
(−1, 0)
=
{identificatie van reële getallen met paren}
−1
=
dus
i2 = −1
De complexe getallen
Voor reële a en b geldt
a + ib
{identificatie van reële getallen met paren}
(a, 0) + (b, 0) · (0, 1)
=
{definitie van vermenigvuldiging}
(a, 0) + (0, b)
=
{definitie van optelling}
(a, b)
=
WIS6
2
In plaats van (a, b) schrijven we voortaan gewoonlijk a + ib .
De getallen a + ib heten de complexe getallen. De verzameling van alle complexe getallen wordt aangegeven met C . In C heeft de vergelijking x2 + 1 = 0 wel een oplossing,
namelijk x = i .
6.2
Rekenregels
Rekenregels
• Optelling en vermenigvuldiging in C zijn associatief ( u(vw) = (uv)w etc.) en commutatief ( uv = vu etc.).
• Vermenigvuldiging distribueert over optelling:
u(v + w) = uv + uw
• Er is één nulelement:
u + v = u ⇐⇒ v = 0
• Er is één eenheidselement: voor u 6= 0 geldt
uv = u ⇐⇒ v = 1
Tegengestelde en inverse
• Elk element heeft één tegengestelde:
u + v = 0 ⇐⇒ u = −v
waarin
−(a + ib) = (−a) + i(−b)
• Elk element 6= 0 heeft één inverse:
uv = 1 ⇐⇒ u = v−1
waarin
(a + ib)−1 =
a
−b
+i 2
a2 + b2
a + b2
Modulus en geconjugeerde
Voor een complex getal z = a + ib , waar a en b reëel, noteren we
<z = a
=z = b
p
|z| = a2 + b2
z = a − ib
Men noemt |z| de modulus of absolute waarde van z , en z de complex geconjugeerde van z .
Eigenschappen:
WIS6
3
• z ∈ R ⇐⇒ z = z
• u+v=u+v
• uv = u · v
• |uv| = |u| · |v|
• |u + v| ≤ |u| + |v|
• z · z = |z|2
• z + z = 2<z
• z − z = 2i=z
Grafische representatie
Een complex getal z kan eenvoudig grafisch worden voorgesteld door het punt in het
platte vlak met x -coördinaat <z en y -coördinaat =z .
Dan stelt |z| de afstand van dit punt tot de oorsprong voor, en z de gespiegelde ten
opzichte van de x -as. Optelling van complexe getallen correspondeert met optelling van
vectoren.
6.3
Poolcoördinaten
Poolcoördinaten
Voor een complex getal z definiëren we arg(z) als de unieke ϕ in (−π . . π] met
<z = |z| cos ϕ,
=z = |z| sin ϕ
In de grafische voorstelling is ϕ de hoek tussen de vector z en de positieve x -as. Dit
vereenvoudigt de vermenigvuldiging:
uv
{zij ϕ := arg(u) , ψ := arg(v) }
(|u| cos ϕ + i|u| sin ϕ)(|v| cos ψ + i|v| sin ψ)
=
{rekenen}
|u||v| ((cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ) + i(cos ϕ sin ψ + sin ϕ cos ψ))
=
WIS6
=
4
{goniometrie}
|u||v| (cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ))
dus
arg(uv) ≡ arg(u) + arg(v) (mod 2π)
Complexe e -macht
Definieer, voor reële ϕ ,
eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ
Deze definitie is zo gekozen dat de Taylorreeksontwikkeling
ez =
∞ k
X
z
k=0
k!
ook voor complexe z geldt. Ook belangrijke eigenschappen als
eu ev = eu+v
D(λz • ez ) = λz • ez
blijven dan gelden voor complexe waarden van de variabelen.
Ieder complex getal z met z 6= 0 is eenduidig te schrijven in de vorm reiϕ met r ∈
(0 . . ∞) en ϕ ∈ (−π . . π] (namelijk via de keuze r = |z| en ϕ = arg(z) ).
Complexe e -macht
Voorbeelden:
√
√
√ π
• 3 + i 3 = 2 3(cos π6 + i sin π6 ) = 2 3ei 6
√
√
π
•
2 + i 2 = 2(cos π4 + i sin π4 ) = 2ei 4
π
• i = 0 + i = 1(cos π2 + i sin π2 ) = ei 2
• −1 = −1 + i · 0 = 1(cos π + i sin π) = eiπ
(De formule
eiπ = −1
werd in een recente enquête als de mooiste formule uit de wiskunde gekozen.)
Goniometrie
Goniometrische formules kunnen via complexe e -machten eenvoudig worden afgeleid
(en hoeven dus niet meer van buiten geleerd of opgezocht te worden). Bijvoorbeeld:
WIS6
5
sin(α + β)
{definitie complexe e -macht}
i(α+β)
=e
=
{rekenregel}
iα
=(e eiβ )
=
{definitie complexe e -macht}
= ((cosα + i sin α)(cosβ + i sin β))
=
{rekenen}
sin α cos β + cos α sin β
=
6.4
Nulpunten
Eenheidswortels
Onderzoek de vergelijking zn = 1 voor complexe z en natuurlijke n .
zn = 1
⇔
{zij r := |z| , ϕ := arg(z) }
iϕ
(re )n = 1
⇔
{rekenen}
n
inϕ
r e
=1
⇔
{modulus en argument afzonderlijk beschouwen}
r = 1 ∧ nϕ ≡ 0 (mod 2π)
⇔
{rekenen}
r = 1 ∧ ϕ ≡ 0 (mod 2π
n)
⇔
{ −π < ϕ ≤ π }
r = 1 ∧ ∃k | − n < 2k ≤ n • ϕ = 2kπ
n
⇔
{eigenschappen
van
b
c
en
d
e
}
r = 1 ∧ ∃k | − n2 < k ≤ n2 • ϕ = 2kπ
n
Het aantal oplossingen is dus n2 + n2 = n . Grafisch zijn dit de hoekpunten van een
regelmatige n -hoek, ingeschreven in de eenheidscirkel.
Eenheidswortels
WIS6
Hoofdstelling van de algebra
Hoofdstelling van de algebra
Ieder polynoom
f(z) = zn + an−1 zn−1 + · · · + a1 z + a0
(met complexe coëfficiënten en graad n ≥ 1 ) is te factoriseren als
f(z) = (z − ω1 )(z − ω2 ) . . . (z − ωn )
en heeft dus precies n nulpunten ω1 , . . . ωn .
De nulpunten ωj hoeven niet allemaal verschillend te zijn.
Mathematica
Invoer:
Solve[x3 + 2x2 + 3x + 12 == 0, x]
Uitvoer:
1
x→
3
5
q
3
√
−143 + 9 254
!
−2 − p
+
,
√
3
−143 + 9 254
√ q
√ 3
√
5 1+i 3
2
1
x→− + p
−
1−i 3
−143 + 9 254 ,
√
3 6 3 −143 + 9 254 6
√ q
√ 3
√
5 1−i 3
2
1
x→− + p
−
1+i 3
−143 + 9 254
√
3 6 3 −143 + 9 254 6
6
WIS6
7
Toepassing: recurrente betrekking
Beschouw de recurrente betrekking
tn = 2tn−1 − 2tn−2 voor n ≥ 2
met t0 = 2, t1 = 3 . De vergelijking x2 − 2x + 2 = 0 heeft twee verschillende complexe
wortels
√
2± 4−8
=1±i
2
Omdat
√ π
1 ± i = 2ei 4
is de algemene oplossing van de recurrente betrekking van de vorm
√
√
π
π
tn = C( 2)n cos n + D( 2)n sin n
4
4
Substitutie van de begincondities geeft
C=2 ∧ C+D=3
dus de gezochte oplossing is
√
√
π
π
tn = 2( 2)n cos n + ( 2)n sin n
4
4
Mathematica
Invoer:
RSolve[{t[n] == 2t[n − 1] − 2t[n − 2], t[0] == 2, t[1] == 3}, t[n], n]
Uitvoer:
nπ nπ + sin
t(n) → 2n/2 2 cos
4
4
Toepassing: Fractalen
Beschouw de recurrente betrekking
zn = z2n−1 + C voor n ≥ 1
z0 = 0
De Mandelbrot-fractaal is de verzameling van punten C waarvoor de rij λn • zn begrensd
blijft, met andere woorden: waarvoor er een M bestaat zodanig dat voor alle n geldt |zn | ≤
M . (Vergelijk practicumopdracht 1 van Imperatief Programmeren!)
WIS6
8
Breuksplitsing
Breuksplitsing
Laten f en g polynomen zijn, met de graad van f kleiner dan de graad van g . Schrijf g in
de vorm
n
Y
g(z) =
(z − ωj )mj
j=1
waar de ω1 , . . . , ωn de verschillende complexe nulpunten van g zijn. Dan zijn er constanten cj,k met
n mj
cj,k
f(z) X X
=
g(z)
(z − ωj )k
j=1 k=1
Breuksplitsing: voorbeeld
Zij f(z) = 3z + 1 , g(z) = z2 + z − 6 . Er geldt
g(z) = (z − 2)(z + 3)
dus volgens de stelling zijn er a en b met
a
b
3z + 1
=
+
+z−6
z−2 z+3
z2
Berekening van a en b :
b
a
+ z+3
∀z | z 6= 2 ∧ z 6= 3 • z23z+1
= z−2
+z−6
⇒
{vermenigvuldig met z2 + z − 6 }
∀z | z 6= 2 ∧ z 6= 3 • 3z + 1 = a(z + 3) + b(z − 2)
⇔
{polynomen met oneindig veel nulpunten zijn overal nul}
∀z • 3z + 1 = a(z + 3) + b(z − 2)
⇒
{in het bijzonder z = 2 en z = −3 }
7 = 5a ∧ −8 = −5b
⇔
{rekenen}
a = 57 ∧ b = 85
Integreren van rationale functies
Breuksplitsing is nuttig omdat we hieruit zien dat
R
3z+1
dz
z2 +z−6
R {breuksplitsing}
R dz
dz
8
z−2 + 5
z+3
=
{elementaire integralen}
7
8
5 ln(z − 2) + 5 ln(z + 3) + C
=
7
5
WIS6
Mathematica
Invoer:
Apart[(3z + 1)/((z − 2)(z + 3))]
Uitvoer:
8
7
+
5(z + 3) 5(z − 2)
9