Calculus I overzicht Even g(x) = g(-x): spiegelen in y-as Oneven g(

 Calculus I overzicht Even g(x) = g(‐x): spiegelen in y‐as Oneven g(‐x)= ‐g(x) : puntspiegelen Als g(x) is even, dan f(g(x)) is ook even. Bijectie: een functie neemt slechts 1 keer een bepaalde waarde aan. (‘horizontale lijn test’) f‐1(y)=x Æ f(x)=y domein van inverse = bereik van f, bereik van inverse = domein van f limietregels blz 99 Boog = r*hoek SCHEMA SIN/COS/TAN GONIOFORMUELS APP D Insluitstelling: Als f(x)=<g(x)=<h(x) EN limxÆa f(x) = limxÆa h(x) = L DAN: limxÆa g(x) = L Limieten: Worteltruc Gemeenschappelijke factor uitdelen l’Hospital Definitie continuïteit: Functie f is continu in a als: Lim xÆa f(x) = f(a) ( f(a) bestaat, lim van f(x) bestaat) Tussenwaardestelling: als f een continue functie is op [a; b] dan bestaat er bij ieder
getal N tussen f (a) en f (b) tenminste een punt c tussen a en b met f (c) = N
Raaklijn y = f’(x)*(x‐a) +f(a) Integraal: (midpointrule) Definitie: Riemannsom: Hoofdstelling van de Calculus: Massamiddelpunt 8.3: Substitutieregel: Partieel integreren: Integreren van rationele functies: Irreducibel: de noemer heeft geen reëele nulpunten. CASE I : alle nulpunten zijn verschillend CASE II : nulpunten vallen samen CASE III : er is een irreducibele factor
Oneigenlijke integralen: Een van de grenzen van het interval van de integrand wordt oneindig of min oneindig. Als de limiet van de integrand met een grens gaat naar oneindig/‐oneindig dan heet de integraal convergent. Als die limiet niet bestaat divergent. Blz 509 Linearisatie L(x) = f(a) + f’(a)(x‐a) Differentiaalvergelijkingen: Taylorpolynomen: Er blijft altijd een klein verschil tussen de werkelijke waarde en de waarde die je met de taylorpolynoom vindt. Rn(x)=f(x)‐Tn(x) limTn(x) = f(x) n naar oneindig Taylorongelijkheid: Hiermee kan ook de nauwkeurigheid bepaald worden. OEFENEN Complexe getallen: (bij D<0 2 complexe nulpunten) Complex getal z = a + bi Reële deel : a Imaginaire deel: b w n = z heeft n verschillende oplossingen. Voor wortels zie A62 Gebruik Taylorpolynoom voor cos y en sin y Æ Extreme functiewaardestelling: Zij f een continue functie op een gesloten interval[a,b] dan heeft f in dit interval een absoluut minimum en absoluut maximum. Stelling van Fermat: Als f differentieerbaar is in c EN f heeft een extreme waarde in c, dan f’(c)=0 Kritiek punt: c van f als f’(c) niet bestaat OF f’(c) =0 Gesloten interval methode: opsporen van globale extreme functiewaarden van f op [a,b] ‐ Bepaal de functiewaarden in kritieke punten op (a,b) ‐ Bepaal f(a) en f(b) ‐ Bepaal het max. En min. Van deze functiewaarden. Stelling van Rolle: Als (1) f continu is op [a,b] en (2) f is differentieerbaar op (a,b) en (3) f(a)=f(b) DAN is er tenminste één punt c tussen a en b met f’(c) = 0 Middelwaardestelling: Als (1) f continu is op [a,b] en (2) f differentieerbaar op (a,b), dan is er één punt c tussen a en b met: Ù f(b) – f(a) = (b‐a)*f’(c) f’(c) = evenwijdig aan de lijn die f(a) met f(b) verbindt. Afschatting: |f(x1)‐f(x2)| =< max (x1<c<x2) |f’(c)||x1‐x2| Regel van l’Hospital: Kijk of je een product om kan schrijven naar een quotiënt!!! (want l’Hospital makkelijker dan partieel integreren) Als alle coëfficienten P,Q,R en het rechterlid G continue functies zijn dan bestaat dde algemene oplossing y(x) die nog van 2 constanten afhangt. Voor een tweede orde differentiaalvergelijking is y(x) =c1y1(x)+c2y2(x) een oplossing als y1(x) en y2(x) oplossingen zijn van de homogene vergelijking en c1 en c2 zijn constanten. Twee oplosisngen zijn onafhankelijk als y2(x) =NIET constante * y1(x) Algemene oplossing(voor homogeen): y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) (mits onafhankelijk) Particuliere oplossing (voor inhomogeen) Algemene oplossing: y(x) = yh(x) + yp(x) Inhomogeen ... =G(x) ipv =0: Algemene vorm: Ax2 + Bx + C (Ax+B)erx Asinx + Bcosx Als G(x) = ekxP(x) probeer yp(x) = ekxQ(x) Als G(x) = ekxP(x)cos(mx) of G(x) = ekxP(x)sin(mx) probeer yp(x) = ekxQ(x)cos(mx)+ ekxQ(x)sin(mx) NB ‘extra x’: Als een term van yp een oplossing is van ay”+by’+cy=0 DAN * x Oefen dit, zie evt aantekening en vergeet 17.3 niet!