ALGEBRA – OEFENZITTING 2 Komplexe getallen en

ALGEBRA – OEFENZITTING 2
c D.Keppens 2004
Komplexe getallen en matrixalgebra
Onderwerp :
• komplexe getallen (definitie, algebraı̈sche, goniometrische en exponentiële gedaante),
bewerkingen.
• matrixalgebra (bewerkingen met matrices) en stelsels lineaire vergelijkingen.
Voorkennis : algebra hoofdstukken 1 en 2
REEKS 1 : Oefeningen op komplexe getallen
2–1 Schrijf het resultaat van volgende bewerkingen met komplexe getallen in algebraı̈sche
gedaante a + bj :
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
1
1+j
1 + j + j2 + j3
1
(1 + j)(1 + j −8 )
2
1 + 3j
2−j
1
1
−
j (1 + j)2
(oplossing :
1
2
− 12 j, 0, 1 + j, − 51 + 75 j, − 12 j)
2–2 Toon aan dat (1 + j)4k met k ∈ N zuiver reëel is.
2–3 Bereken
√ !10
1+j 3
√
1−j 3
(oplossing : − 12 +
√
3
j)
2
2–4 Bepaal alle komplexe oplossingen met modulus 1 van de vergelijking z 3 + z 3 = 0
(schrijf het antwoord in algebraı̈sche gedaante).
√
(oplossing : j, −j,
3
2
+ 21 j,
√
− 3
2
+ 21 j,
1
√
3
2
− 12 j en −
√
3
2
− 12 j)
2–5 Los volgende binomiaalvergelijkingen op in C :
(a) z 3 = 27
(b) z 4 = 1
(c) z 2 = 1 + j
(d) z 3 = −8
√
√
(oplossing : 3, − 23 + 3 2 3 j en − 23 − 3 2 3 j, resp. 1, −1, j en −j, resp.
√
√
√
9π
4
2 ej 8 , resp. −2, 1 + j 3 en 1 − j 3)
√
4
π
2 ej 8 en
2–6 Los op in C : (1 − z)n = z n
1
(oplossing : { 2kπ
| k = 0, 1, . . . , n − 1})
e n j +1
2–7 De komplexe cosinus– (resp. sinus)funktie wordt gedefinieerd als cos z =
ejz + e−jz
2
ejz − e−jz
(resp. sin z =
)
2j
Toon hiermee aan dat1 cos(x + yj) = cos x · cosh y − j sin x · sinh y en dat
sin(x + yj) = sin x · cosh y + j cos x · sinh y
Leid daaruit de formules cosh y = cos(yj) en sinh y =
1
j
sin(jy) af.
2–8 Voor een van nul verschillend komplex getal z definieert men de logaritme als volgt :
w = ln z ⇐⇒ z = exp(w)
Toon nu aan dat ln z = ln |z| + j(Arg z + k 2π) met k ∈ Z (een komplex getal bezit
oneindig veel logaritmen, voor k = 0 bekomt men de hoofdlogaritme).
In het bijzonder bezit elk strikt negatief reëel getal dus een komplexe (hoofd)logaritme.
Bepaal nu achtereenvolgens de hoofdlogaritme van −1, j en 1 − j
√
)
(oplossing : jπ, j π2 en ln 2 + j 7π
4
REEKS 2 : Oefeningen op matrices en lineaire stelsels
2–9 Gegeven zijn de matrices A =
1 −1
2 −1
en B =
1
1
4 −1
Toon aan dat (A + B)2 = A2 + B 2 en verklaar dit resultaat.
2–10 Als A een vierkante matrix is, dan zijn A + At en A · At symmetrisch. Toon dit aan.
1
voor definitie van de reële hyperbolische funkties, zie hoofdstuk 1 in de kursus Wiskundige Analyse
2
2–11 Komplexe getallen kunnen behandeld worden als bijzondere 2 × 2–matrices.
a b
Daartoe identificeert men a + bj met
−b a
Ga na dat de optelling en vermenigvuldiging in C korrespondeert met de matrixoptelling en –vermenigvuldiging en kontroleer dat j 2 = −1
2–12 Een matrix A voldoet aan A2 + A + I = 0. Toon aan dat A inverteerbaar is met
inverse A−1 = −(A + I)
2–13 Zij A =diag(a1 , a2 , . . . , an ) een diagonaalmatrix met ai 6= 0 voor elke i ∈ {1, . . . , n}
Toon aan dat A inverteerbaar is met A−1 =diag( a11 , a12 , . . . , a1n )
2–14 Zij A =
0 k
1 0
Bepaal k ∈ C zo dat A−1 = A3
(oplossing : k = ±1)

 mx + y + z = m + 1
x + my + z = 0
2–15 Bespreek de oplosbaarheid van het lineair stelsel
(m ∈ R)

x + y + mz = 1
m
1
, − m−1
, 0) voor m 6= 1 en m 6= −2, strijdig
(oplossing : unieke oplossing ( m−1
stelsel
voor2 m =1 1, oneindig veel oplossingen (één vrije onbekende) voor m = −2,
nl. (z + 3 , z + 3 , z) | z ∈ R )

 x + my + z = 2m
x + y + mz = 0
(m ∈ R)
2–16 Bespreek de oplosbaarheid van het lineair stelsel

(m + 1)x + my + z = m
2m−1
1
(oplossing : unieke oplossing (−1, m−1 , 1−m ) voor m 6= 0 en m 6= 1 en m 6= −1,
strijdig stelsel voor m = 1, oneindig veel oplossingen {(−z, z, z)|z ∈ R} voor m = 0
en oneindig veel oplossingen {(−1, z + 1, z)|z ∈ R} voor m = −1)

 mx + y + z = m2
x + my + z = m (m ∈ R)
2–17 Bespreek de oplosbaarheid van het lineair stelsel

x + y + mz = −2
o
n 2
1
−m+1
(oplossing : unieke oplossing ( m m−1
, m−1
, −m−1
)
voor m 6= 1 en m 6= −2,
m−1
strijdig stelsel voor m = 1, oneindig veel oplossingen {(z − 2, z, z)|z ∈ R} voor m =
−2)
2–18 Ga na voor welke waarde(n) van m volgend 3 × 2–stelsel oplosbaar is en bepaal
desgevallend de oplossingen.

 mx + y = m
mx + 2y = 1
(m ∈ R)

2x + my = m + 1
(oplossing : {(1, 0)} voor m = 1 en {( 52 , 3)} voor m = −2)
3