Beschrijving van het elektro-magnetisch veld mbv de vierpotentiaal

Beschrijving van het elektro-magnetisch veld mbv de vierpotentiaal
Het em-veld kan gemakkelijk beschreven worden door het introduceren van een
viervectorpotentiaal 𝐴𝜇 .
Deze is zo gekozen dat 𝐴0 gelijk is aan de elektrische potentiaal 𝜙 en dat de rotatie van 𝐴⃗ overeen
⃗⃗.
stemt met 𝐵
𝐴0 (𝑥) = 𝜙(𝑥)
⃗⃗
rot 𝐴⃗ = 𝐵
Met de wetten van Maxwell in gedachten kan je het elektrisch veld als volgt uit de vierpotentiaal
halen:
𝐸⃗⃗ = −
𝜕𝐴⃗
⃗⃗𝜙 of 𝐸𝑖 = −𝜕 0 𝐴𝑖 + 𝜕 𝑖 𝐴0
−∇
𝜕𝑡
⃗⃗
𝜕𝐵
Want zo wordt rot 𝐸⃗⃗ + = 0.
𝜕𝑡
In het volgende voorbeeld bekijken we het magnetisch veld van een rechte stroomvoerende
geleider. De geleider ligt op de z-as en de elektrische stroom loopt naar boven.
⃗⃗ = 𝜇0 .
𝐵
𝐼 𝑦
−𝑥
( 2 𝑒⃗𝑥 + 2 𝑒⃗𝑦 )
2𝜋 𝑟
𝑟
4
2
2
0
0
2
0
2
2
De juiste keuze van 𝐴𝜇 brengt dan ook dit veld voort. Want neem
0
𝐼 𝑥𝑧
−𝜇0 .
2𝜋 𝑟 2
𝐴=
𝐼 𝑦𝑧
−𝜇0 .
2𝜋 𝑟 2
(
)
0
In dit geval definieert men een em-energietensor 𝐹𝜇𝜐 als:
𝐹𝜇𝜐
0
𝐸
= 𝜕 𝜇 𝐴𝜐 − 𝜕 𝜐 𝐴𝜇 = ( 1
𝐸2
𝐸3
−𝐸1
0
𝐵3
−𝐵2
−𝐸2
−𝐵3
0
𝐵1
−𝐸3
𝐵2
)
−𝐵1
0
Deze transformeert als volgt in matrixvorm:
𝐹 ′ = Λ∗ . 𝐹. (Λ∗ )𝑡𝑟
We willen nu nagaan hoe het elektrisch en magnetisch veld transformeren onder
Lorentztransformaties.
Stel een proton beweegt met een snelheid v volgens de X-as. Een waarnemer diet met dit proton
mee beweegt, zal enkel een elektrisch veld kunnen meten. De punt-down transformatiematrix is
dan:
𝑡′
𝛾
𝑥′
−𝛾𝑣
( )=(
𝑦′
0
0
𝑧′
−𝛾𝑣
𝛾
0
0
0
0
1
0
𝑡
0
𝑥
0
)( )
𝑦
0
𝑧
1
In dit geval willen we omgekeerd werken. In het bewegend stelsel, dat we het S’ stelsel noemen,
kennen de het veld. Dit zal namelijk het veld zijn, opgewekt door een puntlading. Om het veld te
kennen in het stilstaand stelsel, gebruiken we de punt-up matrix:
𝑡
𝛾
𝑥
𝛾𝑣
( )=(
𝑦
0
𝑧
0
𝛾𝑣
𝛾
0
0
0
0
1
0
0
𝑡′
0
𝑥′
)( )
𝑦′
0
1
𝑧′
De viervectorpotentiaal in het S’ stelsel verandert als volgt:
𝛾𝜙
𝜙
0
𝛾𝑣𝜙
( )→(
)
0
0
0
0
Berekenen we nu bv de magnetische inductie in de y-richting:
𝐵𝑦 =
𝜕𝐴𝑥 𝜕𝐴𝑧
𝜕𝐴0
−
= 𝛾𝑣 ′ = −𝛾𝑣 𝐸′𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑧
Makkelijker is de energietensor te transformeren. Dit geeft het volgende resultaat, voor het
gemak laten we de accenten vallen::
0
Ex 𝛾 − Ex 𝑣 2 𝛾 2
Ey 𝛾 + Bz 𝑣 𝛾
( Ez 𝛾 − By 𝑣 𝛾
2
−Ex 𝛾 2 + Ex 𝑣 2 𝛾 2
0
Bz 𝛾 + Ey 𝑣 𝛾
−By 𝛾 + Ez 𝑣 𝛾
−Ey 𝛾 − Bz 𝑣 𝛾
−Bz 𝛾 − Ey 𝑣 𝛾
0
Bx
−Ez 𝛾 + By 𝑣 𝛾
By 𝛾 − Ez 𝑣 𝛾
−B x
0
)