Brugcursusdeel 2

HOOFDSTUK 19: DETERMINANTEN VAN ORDE TWEE EN
DRIE.
a b 
Voor een 2×2 matrix A is detA = det 
 = ad – bc.
c d 
Een andere notatie is
Zo is
2
3
4 2
a b
c d
.
=-14.
a b

Voor een 3×3 matrix A is detA = det d e
 g h
c
f  = a.e.i + g.b.f + d.h.c – g.e.c – d.b.i – a.h.f.
i 
8 0 6
Zo is 4  6 7 = (-8).(-6).5 + (-1).0.7 + 4.(-3)6 – (-1)(-6)6 – 4.0.(-5) – (-8)(-3)7
1  3 5
= 240 + 0 +(-72) - 36 - 0 –168 = -36
1 0 1
Of  5 1 1  37 .
4 8 1
OEFENINGEN
1. Toon aan dat
2. Bereken
4 5 7
0 6
0, 0 0 0 0.
0 7
3 9 6
10 25
.
4 7
Antw.: 30.
6 3
8
3. Toon aan dat 15  9  20 = 0.
 9  1 12
INTRO]
2
STELSELS - VECTOREN
HOOFDSTUK
21:
VERGELIJKINGEN.
STELSELS
VAN
LINEAIRE
STELSEL VAN N LINEAIRE VERGELIJKINGEN IN N ONBEKENDEN.
Beschouwen we voor de eenvoud een stelsel van (slechts) drie vergelijkingen en vier onbekenden:
 a1 x  b1 y  c1 z  k1

a 2 x  b2 y  c 2 z  k 2
a x  b y  c z  k
3
3
3
 3
waarbij elke vergelijking geschreven wordt in met de onbekende x, y, z, w in deze volgorde, aan de linkerkant,
en de constante term aan de rechterzijde. We vormen:
a1
D = a2
a3
b1
b2
b3
c1
c 2 , en deze wordt de determinant van de coëfficiënten genoemd.
c3
Als D = 0 en kan men zich verwachten aan een probleem: het kan dat er oneindig veel oplossingen zijn, of
helemaal geen.
OPGELOSTE VRAAGSTUKKEN
2 x  3 y  z  0

1. Los op  x  5 y  3z  3
5 x  12 y  8 z  9

( E1)
( E 2)
( E 3)
Opl.
Rekenmachine of software stellen hier wellicht wel onmiddellijk een oplossing voor. Soms ziet die er dan nog
correct in de zin dat de getallen niet te klein of te groot schijnen. Berekening van de determinant van het stelsel
geeft echter 0, en men is dus gewaarschuwd.
Nu blijken alle Nx, Ny en Nz echter nul. Het stelsel heeft dus misschien niet één maar oneindig veel oplossingen,
waarvan deze voorgesteld door de rekenapparatuur er één van is. We stellen vast dat E1+3E2 = E3 (d.w.z. de
eerste vergelijking plus driemaal de tweede geeft de derde vergelijking). We behouden daarom de eerste twee
2 x  3 y   z
. Nu blijken de determinant van het stelsel niet nul, en er is
vergelijkingen, die we schrijven als 
 x  5 y  3  3z
dus één oplossing, waarin echter z nog als "vrije" parameter fungeert (d.w.z dat z er nog een willekeurige waarde
kan aannemen). Sommige rekenapparatuur kunnen de berekening van de oplossing nu aan, en stellen voor dat
x
7
6
4
9
z
en y  z  .
13
13
13
13
Andere rekenapparatuur kon de berekening van de oplossing misschien van in het begin, en stelden
bijvoorbeeld voor dat x=x, y 
7
3
13
9
4
9
x  en z  x  . Uit de uitdrukking voor z volgt dat x  z 
en dit
4
4
4
4
13
13
is inderdaad weer de uitdrukking die voorheen werd voorgesteld.
INTRO]
STELSELS - VECTOREN
3
2. Los op
6 x  2 y  z  1

a)  x  4 y  2 z  0
4 x  6 y  3z  0

2 x  3 y  4 z  1

b) 3x  y  2 z  2
5 x  9 y  14 z  3

 x  7 y  5 z  22

c)  x  9 y  11z  26
 x  y  3z  2

Ant. (a) inconsistent; (b) inconsistent; (c) x=2z-1, y=-z-3;
5. Een vliegtuig legt een afstand af van 3000 mi van Los Angeles naar New York met de wind, in 5 uur. Op de
terugtocht heeft het 6 uur nodig. Vind de snelheid van het vliegtuig en de snelheid van de wind.
Opl.
5 x  5 y  3000
heeft als oplossingen x=550 en y=50. Bijgevolg heeft het vliegtuig een snelheid
Het stelsel 
6 x  6 y  3000
van 550mph en de wind 50mph.
6. Oplossing A bevat 5% alcohol, terwijl een ander product B zelfs 15% alcohol bevat. Hoeveel liter van elk
moet men mengen om 10l te krijgen dat 12% alcohol bevat?
Opl. 3l van A, en 7l van B.
7. Een verzameling Amerikaanse muntstukken bevat dimes en quarters alles samen $7,60 en 43 stukken.
Hoeveel dimes (1dime = 10¢) en quarters (1quarter = 25¢) zijn er?
Opl. controleer Uw antwoord.
8. Extra (!). Matt heeft 9 uur meer tijd nodig dan Chris om een muur te bouwen. Als ze samen werken kunnen
zij een muur bouwen in 20 uur. Hoe lang duurt het voor elk van hen afzonderlijk om deze muur te bouwen?
Opl.: De enige correcte oplossing is 36 uur voor Chris en 45 uur voor Matt.
TOEPASSINGEN UIT DE CURSUS STRUCTUURLEER
1) Uit de cursus structuurleer werden de volgende stelsels geplukt.
INTRO]
STELSELS - VECTOREN
 R Ax  R B sin 30  0

a)  R Ay  2  R B cos 30  0

 6  5.R B . cos 30  0

R A  0
 x
b)  R Ay  F  R B  0

M  F 1  R  0
B
 A
2
 R Ax  TBC  0

 R Ay  TBD  0

 R  0,2  0
c)  Az
TBD .0,6  0,2.0,5  0
0,2.0,2  T .0,6  0
BC

1,0.TBC  0,4.TBD  0
R  0
 Ax

d)  R Ay  400  800  R E y  0

 400  3.800  4.R E y  0
 F2  F1 cos 60  0
e) 
 F1 sin 60  500  0
577.co60  F3 cos 60  F4  0
f) 
577. sin 60  400  F3 sin 60  0
Opl. (afgerond)
a) (0,69; 1,39; 0,80)
b) Oneindig twee oplossingen: RAy=-3RB-2RA en F=-2RB-2MA.
c) RAx=0,0667= RAy= TAx= TBC en RAz=0,2.
d) 0; 700; 500e) –577; 289

T AC .

2. Stel: 

T AC .
1
2
 T AB .  0
2
2
f) 115; -346.
.
2
3
 T AB .
2
2
2
Ga na dat TAC=1,46… en TAC=1,04…
1
 3 .T AB  0,41.T AC  0,51.T AD  0

2
2. Beschouw:  .T AB  0,41.T AC  0,51.T AD  0 .
3
2
 3 .T AB  0,82.T AC  0,69.T AD  0

Ga na dat TAB = 5,28, TAC = 6,44, TAD = 1,73 een oplossing vormen.
4
INTRO]
STELSELS - VECTOREN
1
 3 .TAB  0,41.TAC  0,51.TAD  0

2
3. Los op:  .TAB  0,41.TAC  0,51.TAD  0 .
3
2
 3 .TAB  0,82.TAC  0,69.TAD  3
Opl.: TAB = 0,81…, TAC = 1,58…, TAD = 0,5181…
5