TENTAMEN CONTINUE WISKUNDE HELE STOF ZOZ

TENTAMEN CONTINUE WISKUNDE
HELE STOF
11 januari 2013, 10:00-13:00
• Op de achterzijde staan vier opgaven en een lijstje met formules.
• Het gebruik van grafische of programmeerbare rekenmachines is niet toegestaan.
• Motiveer elk antwoord d.m.v. een berekening of redenering.
• Vul op elk tentamenpapier duidelijk leesbaar je naam en collegekaartnummer
in.
• Het cijfer is het totaal aantal punten gedeeld door 7 plus 1.
5
5
5
e2x − 2 sin x
.
x→0
x2
x3 + ln x
.
b) Bereken lim
x→∞ 2x3 + 1
1.a) Bereken lim
2.
Voor c ∈ R is de functie fc gegeven door
(
(c + ln x)2
fc (x) =
2c · cos(πx)
(x ≥ 1),
(x < 1).
Bepaal voor welke waarde(n) van c de functie fc continu is in x = 1.
5
3.
x2
.
x−2
a) Bepaal de verticale asymptoten van f . Bepaal voor elke verticale asymptoot x = a
de limieten limx↑a f (x) en limx↓a f (x).
4.
2
Bepaal het 3e Taylorpolynoom P3 (x) van esin x rond x = 0.
Gegeven is de functie f (x) = 1 +
3
b) Laat zien dat y = x + 3 een scheve asymptoot is voor f zowel voor x → ∞ als voor
x → −∞.
3
c) Bepaal de extremen van f met plaats, aard en grootte. Geef aan of de extremen
absoluut of relatief zijn.
2
d) Schets met de in a),b),c) gevonden gegevens de grafiek van f .
1
ZOZ
2
1
Z
5
sin(e2x + x2 ) · (e2x + x)dx.
5.a) Bereken
0
5
b) Bepaal alle primitieven van (x2 + 1) cos x.
6.
Gegeven is de functie f (x, y) = x2 y + 4xy + 3ey .
2
a) Bepaal lim f (x, x) en lim f (x, x). Kan f absolute maxima of minima aannemen?
4
b) Laat zien dat (−1, 0), (−3, 0), (−2, ln 4/3) de enige stationaire punten zijn van f .
4
c) Ga voor elk van deze punten na of f daarin een maximum of minimum aanneemt
of dat het een zadelpunt is.
4
2
4
5
5
x→∞
x→−∞
(1 + i)5
in de vorm a + bi met a, b ∈ R.
2−i
b) Bepaal de oplossingen van 4z 2 − 8z + 5 = 0 en schrijf ze in de vorm a + bi met
a, b ∈ R.
7.a) Schrijf
c) Bepaal de oplossingen van z 6 = −64 en teken ze in het complexe vlak.
8.a) Ga na of
∞
X
n2 + 1
convergeert of divergeert. Je mag gebruiken dat
n5 + 1
n=1
convergeert als α > 1 en divergeert als α ≤ 1.
∞
X
n3
b) Ga na of
convergeert of divergeert.
n!
n=1
Formules goniometrie
sin(x + y) = sin x · cos y + cos x · sin y;
cos(x + y) = cos x · cos y − sin x sin y;
√
sin π6 = cos π3 = 12 ; sin π3 = cos π6 = 12 3;
Standaardlimieten voor functies
sin x
a x
lim
= 1; lim 1 +
= ea ;
x→0 x
x→∞
x
xp
(ln x)p
lim
= 0; lim
= 0, als q > 0.
x→∞ ex
x→∞
xq
sin π4 = cos π4 =
1
2
√
2.
P∞
n=1
n−α