Tentamen Calculus 1 - Professor Francken

Tentamen Calculus 1
8 november 2010, 9.00-12.00 uur.
Dit tentamen bestaat uit acht opgaven waarvoor in het totaal negen punten te behalen
zijn. De detailnormering staat onderaan het tentamen. Totaal: 9 +1 (gratis) = 10. Schrijf
op elk in te leveren blad je naam en studentnummer, en op het eerste blad het aantal
ingeleverde bladen. Het gebruik van aantekeningen, boeken, en (grafische) rekenmachine
is niet toegestaan. Alle antwoorden dienen te worden gemotiveerd. Succes.
1. (a) Formuleer het principe van volledige inductie.
(b) Bewijs dat voor ieder natuurlijk getal n ≥ 1 geldt,
1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + · · · · + n(n + 1)(n + 2) =
n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
4
2. Bepaal alle complexe getallen z die voldoen aan
2z 4 + 2z 2 + 1 = 0
en schets de ligging van deze getallen in het complexe vlak.
3. (a) Vul de volgende definitie aan:
De afgeleide van een functie f in een punt a wordt gegeven door
def
f 0 (a) = · · ·
(b) We nemen aan dat f (x) differentieerbaar is voor −∞ < x < ∞.
Vul de volgende definitie aan:
De afgeleide f 0 is continu in een punt a indien ...
(c) We noemen een functie f continu differentieerbaar op (−∞, ∞), indien f (x)
differentieerbaar voor alle x ∈ (−∞, ∞) en de afgeleide f 0 (x) continu is voor
alle x ∈ (−∞, ∞).
Neem aan dat f en g continu differentieerbaar zijn op (−∞, ∞), g 0 (a) 6= 0 en
f (a) = g(a) = 0. Toon aan dat (de regel van l’Hospital juist is):
lim
x→a
(d) Bereken
f 0 (a)
f (x)
f 0 (x)
=
=
lim
x→a g(x)
g 0 (x)
g 0 (a)
ex − 1
x→0
x
lim
en
lim x e1/x − x
x→∞
4. (a) De functie f (x) is gedefinieerd voor −∞ < x < ∞. Geef de -δ-definitie van
lim f (x) = L.
x→a
(b) Bewijs m.b.v. deze definitie dat
lim x2 − 4x + 5 = 1
x→2
5. De aarde oefent een gravitatiekracht F uit op een eenheidsmassa op afstand r van
het middelpunt van de aarde. Deze kracht wordt gegeven door

 GM r/R3 als r < R
F (r) =

GM/r2
als r ≥ R
waarbij R de straal van de aarde is, M de massa van de aarde, en G de gravitatieconstante. (NB: R, M en G zijn constant).
(a) Is de functie F (r) continu?
(b) Is F differentieerbaar in r = R?
6. (a) Bepaal de afgeleide van f (x) = (1 + x2 )x .
(b) De functie g(x) is continu voor x ≥ 0. Verder is gegeven dat
Z x2
g(t) dt = (1 + x2 )x
0
Bereken g(1).
7. (a) Bereken
Z
∞
1
ln x
dx
x2
(b) Bepaal
Z
√
cos x
dx
1 + sin x
(c) Bereken
Z
π/2
−π/2
x2 sin x
dx
1 + x4
8. Bepaal een functie y(x) die voldoet aan de differentiaalvergelijking
(x2 + 1)y 0 = xy
en y(1) = 1.
Detailnormering:
1a 0.5
b 0.5
2
1.0
3a 0.3
b 0.2
c 0.5
d 0.5
4a 0.5
b 0.5
5a 0.5 6a 0.5 7a 0.5 8
b 0.5 b 0.5 b 0.5
c 0.5
1.0