Oefeningen Wiskundige Analyse II: differentieerbaarheid

Oefeningen Wiskundige Analyse II: differentieerbaarheid
p
1. Zij u(x, y) = ln x2 + y 2 , (x, y) 6= (0, 0). Ga na dat deze functie in R2 \{(0, 0)} voldoet aan
de vergelijking van Laplace, ∆u = uxx + uyy = 0.
2. De zogenaamde potentiaalfunctie van de sfeer x2 + y 2 + z 2 = a2 wordt gedefinieerd door

2π 2

(x + y 2 + z 2 ),
x2 + y 2 + z 2 < a2
 2πa2 −
3
V (x, y, z) =
1
4 3

,
x2 + y 2 + z 2 ≥ a2
 πa p 2
3
x + y2 + z2
Toon aan dat
• V continu is in R3 ;
• de partiële afgeleiden van de eerste orde continu zijn in R3 ;
• ∆V = Vxx + Vyy + Vzz gelijk is aan 0 buiten de sfeer en aan −4π binnen de sfeer.
x
, voor y 6= 0; zij x(t) = exp(t) en y(t) = ln t, t ∈]0, +∞[. Ga na waar de
y
samengestelde functie z(x(t), y(t)) afleidbaar is en bepaal haar afgeleide.
√
x
√
4. Zij z(x, y) = ln(sin √ ), voor 0 < x < π y; zij x(t) = πt en y(t) = 1 + t2 . Ga na waar de
y
samengestelde functie z(x(t), y(t)) afleidbaar is en bepaal haar afgeleide.
→
−
→
−
5. Zij f (t) afleidbaar in R en stel g(x, y, z) = f (x2 + y 2 + z 2 ). Bereken ∇g • ∇g.
p
6. Zij f (r) afleidbaar in R en zij r = x2 + y 2 + z 2 . Toon aan dat
3. Zij z(x, y) =
→
−
| ∇f (x, y, z)| = |f 0 (r)|
in R3 \{(0, 0, 0)}.
7. Zij ~b een constante vector in R3 en P0 een vast punt. Beschouw
P : R → R3 , t 7→ P0 + t~b
en f : R3 → R, continu differentieerbaar in R3 . Bepaal
d
dt f
(P (t)).
2
8. Zij f (u, v) continu differentieerbaar in R , zij
u(x, y) = x3 y + y 2 ,
v(x, y) = y 3 x .
Bereken de partiële afgeleiden van g(x, y) = f [u(x, y), v(x, y)].
9. Zij x1 , . . . , xn ∈ R; zij p ∈ N. Toon aan dat
X
(x1 + x2 + . . . + xn )p =
α1 +...+αn
p!
αn
1
xα
1 . . . xn
α
!
.
.
.
α
!
1
n
=p
10. Gegeven de reëelwaardige functie F (t1 , . . . , tn−1 ), overal continu differentieerbaar ondersteld.
Verder zijn a1 , . . . , an constanten en stelt men voor j = 1, . . . , n − 1
tj = aj xj − an xn ,
j = 1, . . . , n − 1
en ook nog
Φ(x1 , . . . , xn ) = F (t1 (x1 , . . . , xn ), . . . , tn−1 (x1 , . . . , xn )).
Onderzoek de continu differentieerbaarheid van Φ en bepaal
n
X
1
∂x Φ(x1 , . . . , xn )
ak k
k=1
1
11. Gegeven de reëelwaardige functie F (t1 , . . . , tn−1 ), overal continu differentieerbaar ondersteld.
Verder zijn a1 , . . . , an constanten en stelt men voor j = 1, . . . , n − 1
tj =
xj − aj
xn − an
en ook nog
Φ(x1 , . . . , xn ) = F (t1 (x1 , . . . , xn ), . . . , tn−1 (x1 , . . . , xn )).
Onderzoek de continu differentieerbaarheid van Φ en bepaal waar mogelijk
n
X
(xk − ak )∂xk Φ(x1 , . . . , xn )
k=1
~ : Rn → Rn , beide continu differentieerbare vectorfuncties, die
12. Gegeven F~ : Rn → Rp en G
voldoen aan
−
~ •→
G
∇fi = 0,
i = 1, . . . , p.
Toon aan dat voor elke continu differentieerbare scalaire functie h : Rp → R geldt dat
−
~ •→
G
∇(h ◦ F~ ) = 0.
13. Gegeven f : R → R, t 7→ f (t), overal afleidbaar ondersteld. Stel t =
φ(x1 , . . . , xn ) = f (t(x1 , . . . , xn )). Toon aan dat
φxj (x1 , . . . , xn )
φx (x1 , . . . , xn )
= k
,
xj
xk
Pn
i=1
x2i en definieer
j, k = 1, . . . , n.
14. Gegeven een functie f in R2 , die voldoet aan
Stel vervolgens x = uv en y =
∂f
∂x
u2 −v 2
,
2
2
+
∂f
∂y
2
= 4.
en definieer
g(u, v) = f (x(u, v), y(u, v)) .
Bepaal reële constanten a en b waarvoor geldt dat
a(∂u g)2 − b(∂v g)2 = u2 + v 2
15. Zij f een functie in R2 , die tweemaal continu differentieerbaar in een gebied Ω ondersteld
wordt. Toon aan dat, opdat f zou voldoen aan de vergelijking
fxx − fyy = 0,
het nodig en voldoende is dat f (x, y) = g(x + y) + h(x − y), met g en h twee willekeurige
functies van één veranderlijke, die tweemaal continu afleidbaar zijn in gepaste gebieden.
16. Zij u(x, y) en v(x, y) continu differentieerbare functies, die voldoen aan het stelsel van
Cauchy-Riemann:
ux = vy , uy = −vx
Zijn e en e∗ eenheidsvectoren volgens richtingen die onderling orthogonaal zijn. Zijn de
richtingsafgeleiden van u volgens e en van v volgens e∗ gelijk?
2
17. Beschouw de functie
f (x, y) =


xy 2
x2 +y 4 ,
(x, y) 6= (0, 0)

0
(x, y) = (0, 0)
Toon aan, m.b.v. de definitie, dat alle richtingsafgeleiden van f in (0, 0) bestaan. Is f continu
in (0, 0)?
18. Gegeven het oppervlak met vergelijking x2 + y 2 + z 2 − xy − 1 = 0. Bepaal de vergelijkingen
van de projecties ervan op elk der coördinaatvlakken.
19. Zoek de verzameling van de punten (a, b, c) waarvoor de oppervlakken
(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = 1 en x2 + y 2 + z 2 = 1 elkaar orthogonaal snijden.
20. Bepaal de functie f : R −→ R zodanig dat het oppervlak y = f (x)
(i) door het punt (0, 0, 7) gaat
(ii) het oppervlak xy + 2xz = 2 orthogonaal snijdt.
21. Bepaal de laplaciaan
∂2
∂2
+ 2
2
∂x
∂y
∆=
in poolcoördinaten:
(
x = r cos (θ)
y = r sin (θ)
met r ≥ 0, θ ∈ [0, 2π].
22. Zet de afleidingsoperator
1 ∂2
∂2
− 2 2
2
∂x
c ∂t
2
in R om met de transformatie van Lorentz
x0 + vt0
x= q
,
2
1 − vc2
v 0
0
c2 x + t
t= q
2
1 − vc2
23. Zet de afleidingsoperator
2
∂2
2 ∂
−
a
∂x2
∂y 2
in R2 om met de coördinatentransformatie
x=
1
(u − v),
2a
y=
1
(u + v),
2
(a 6= 0)
24. Transformeer de operator
∂
∂
−
∂y ∂x
aan de hand van x = u(1 − v) en y = uv.
25. Transformeer de operator
1 ∂2
∂
∂
+ xy
+ (1 − y 2 )
+ x2 y
y ∂x2
∂x
∂y
aan de hand van x = uv en y = v1 .
3
26. Bepaal de laplaciaan in zogenaamde parabolische coördinaten (u, v), met x = uv, y =
1
2
2
2 (u − v ).
27. Transformeer de laplaciaan onder de rotatie
x = u cos α − v sin α,
y = u sin α + v cos α.
28. Als z(x, y) voldoet aan
zxx + 2zxy + zyy = 0,
aan welke betrekking voldoet dan w(u, v), met u = x + y, v = x − y en w = xy − z.
4