opgaven

Faculteit der Exacte Wetenschappen
2e deeltentamen Lineaire Algebra
Vrije Universiteit
voor studenten Wiskunde, Natuurkunde en Econometrie
03–06–2005
Duur: 2 uur
Normering:
1a : 1 ; 2a : 3 ; 3 : 7 ; 4a : 1 ; 5 : 6 ; 6a : 2 ;
b:3 ; b:2 ;
b:2 ;
6:4 ;
c:2 ; c:4 ;
c:3 ;
d:2 ;
d:3 .
Eindcijfer = 1 +
totaal
.
5




1 1 1
−3 −1 2
1. Zij P =  2 −1 1 ,
Q =  −1 −1 1 ,
3 1 2
5
2 −3
A = P DQ, en I de 3 × 3 eenheidsmatrix.

1 0 0
D =  0 21 0 ,
0 0 13

en zij
(a) Toon aan dat P −1 = Q.
(b) Bepaal de eigenwaarden en bijbehorende eigenvectoren van A.
(c) Toon aan dat A inverteerbaar is en bepaal de eigenwaarden en bijbehorende
eigenvectoren van A−1 .
(d) Bepaal de eigenwaarden en bijbehorende eigenvectoren van de getransponeerde
AT van A.
2. Zij n ≥ 2 een natuurlijk getal en a ∈ Rn met a 6= 0. De n × n matrix A is gegeven
door A = a aT .
(a) Bepaal de dimensie van de nulruimte van A, en toon aan dat 0 een eigenwaarde
van A is.
(b) Bewijs dat kak2 een eigenwaarde is van A en dat a een bijbehorende eigenvector
is van A.
(c) Bewijs dat A diagonaliseerbaar is en bepaal een diagonaalmatrix D die gelijkvormig (similar) is met A.
3. Los op
 0
x (t)


 10
x2 (t)
x1 (0)



x2 (0)
=
=
=
=
17x1 (t) − 45x2 (t),
6x1 (t) − 16x2 (t),
8,
3.
Z.O.Z.
1




 
 

8
2
2
0
1
4. Zij b1 =  2 , b2 =  −1 , b3 =  3 , v =  1 , v̂ = 91  11 , en
7
1
−2
3
1
3
H = {x ∈ R | x1 − 2x2 + 2x3 = 0}. Zij B1 = {b2 , b3 } en B2 = {b1 , b2 }.

(a) Toon aan dat de dimensie van H gelijk is aan 2.
(b) Bewijs dat B2 een orthogonale basis is van H.
(c) Zonder verdere controle mag worden aangenomen dat B1 een basis is voor H. De
coördinaatvector
[x]B1 van x ∈ H ten opzichte van de basis B1 wordt gegeven
1
door [x]B1 =
. Bepaal de coördinaatvector [x]B2 van x ten opzichte van de
2
basis B2 .
(d) Toon aan dat v̂ het element van H is dat zo is dat kv − v̂k minimaal is.
5. Bepaal of de onderstaande beweringen juist of onjuist zijn. Als de bewering juist is,
geef dan een bewijs. Als de bewering onjuist is, geef dan een tegenvoorbeeld. A is
steeds een n × n matrix.
(a) Zij V een eindig dimensionale vectorruimte en het stelsel {v1 , . . . , vp } in V
lineair onafhankelijk. Dan is de dimensie van V ten minste p.
(b) Zij v een eigenvector van A met Av 6= 0. Dan is v een element van de kolomruimte van A.
(c) Zij v ∈ Col A en w ∈ Nul A, dan v ⊥ w.
(d) Zij A en B symmetrische n×n matrices. Als de kwadratische vorm xT Ax positief
definiet is en xT Bx negatief definiet is, dan is xT (A − B)x positief definiet.
6. Zij P2 de vectorruimte van de polynomen van de graad ten hoogste 2 (inclusief het
0-polynoom) en p1 (t) = 1, p2 (t) = t − 21 en p3 (t) = t2 . Zij het inwendige product op
P2 gegeven door
Z
1
hp(t), q(t)i =
p(t)q(t)dt.
0
(a) Toon aan dat p1 (t) ⊥ p2 (t).
(b) Bepaal een orthogonale basis voor P2 .
2