Midtoets Lineaire Algebra 1, 11 december 2008

Midtoets Lineaire Algebra 1, 11 december 2008
De toets bestaat uit 6 vraagstukkken. U krijgt 180 minuten om deze vraagstukken
te beantwoorden. De puntenwaardering kunt u vinden aan het einde van de
vraagstukken.
1. Gegeven is de lineaire vergelijking Ax = b met




1 3 −2
−1
A =  2 5 1 , b =  2 .
2 6 −4
−2
a. Gebruik Gauss-eliminatie om de oplossingsverzameling van Ax = b
te bepalen.
b. Bepaal de nulruimte N (A) van A.
c. Bepaal een basis van N (A).
d. Bepaal de dimensie van N (A).
2. Stel dat A een n × n matrix is en b ∈ Rn
a. Laat zien: als A niet-singulier is dan heeft de lineaire vergelijking
Ax = b precies een oplossing.
b. Laat zien: als A singulier is dan heeft de vergelijking Ax = 0 minstens een oplossing x 6= 0.
c. Laat zien: als de vergelijking Ax = b precies een oplossing heeft dan
is A niet-singulier.
3. Stel A en B n × n matrices, en stel dat BA = I.
a. Toon aan dat N (A) = {0}.
b. Laat met behulp hiervan zien dat A niet-singulier is.
c. Toon aan dat AB = I.
4. Bekijk voor elke x ∈ R de 3 × 3 matrix


x
1
1
x −1  .
A= 1
−1 −1 x
a. Bepaal det(A) als functie van x.
b. Bepaal alle waarden van x waarvoor A singulier is.
1
5. Stel V een vectorruimte.
a. Toon aan: V bevat precies een 0-element, d.w.z een element 0 met
de eigenschap dat voor alle x ∈ V geldt: x + 0 = x.
b. Toon aan dat elke eindige verzameling vectoren in V die de 0-vector
bevat lineair afhankelijk is.
c. Stel {v1 , v2 , v3 } lineair onafhankelijke vectoren in V. Bewijs dat
{v1 + v2 , v2 + v3 , v3 + v1 } lineair onafhankelijk zijn.
d. Laat zien dat span(v1 , v2 , v3 ) = span(v1 + v2 , v2 + v3 , v3 + v1 ).
6. We bekijken de vectorruimte P4 van alle polynomen met reële coefficienten, met graad kleiner dan 4. Laat N ⊂ P4 de deelverzameling zijn
van alle polynomen p(x) met de eigenschap dat p(0) = 0, i.e.
N = {p(x) ∈ P4 | p(0) = 0}.
a. Laat zien dat N een deelruimte is van P4 .
b. Bepaal een basis van N .
Puntenwaardering:
U krijgt 10 punten gratis. Voor elk vraagstuk krijgt u maximaal 15 punten.
Het eindcijfer wordt bepaald door het totale aantal punten door 10 te delen.
2