Midtoets Lineaire Algebra 1, 10 december 2009

Midtoets Lineaire Algebra 1, 10 december 2009
De toets bestaat uit 6 vraagstukkken. U krijgt 180 minuten om deze vraagstukken
te beantwoorden. De puntenwaardering kunt u vinden aan het einde van de
vraagstukken.
1. Gegeven is de lineaire vergelijking Ax = b met




1 −1 3 2
1
A =  −1 1 −2 1  , b =  −2  .
2 −2 7 7
1
a. Gebruik Gauss-eliminatie om de oplossingsverzameling van Ax = b
te bepalen.
b. Bepaal de nulruimte N (A) van A.
c. Bepaal een basis van N (A).
d. Bepaal de dimensie van N (A).
2. Laat A een m × n matrix zijn, met m ≤ n
a. Laat r het aantal rijen ongelijk aan nul zijn in de rij-echelonvorm
van A. Laat zien: de dimensie van de nulruimte N (A) is gelijk
aan n − r.
b. Laat zien: als m < n dan heeft het stelsel Ax = 0 oneindig veel
oplossingen x 6= 0.
3. Stel dat A, B en C m × n matrices zijn.
a. Wat betekent de uitspraak dat A en B rij-equivalent zijn?
b. Toon aan: als A rij-equivalent is met B dan is B rij-equivalent met
A.
c. Toon aan: als A rij-equivalent is met B en B is rij-equivalent met
C, dan is A rij-equivalent met C.
d. Toon aan: als m = n en A en B zijn niet-singulier, dan zijn A en
B rij-equivalent.
1
4. Bekijk voor elke x ∈ R de 3 × 3 matrix


1 1 1
A =  1 9 x .
1 x 3
a. Bepaal det(A) als functie van x.
b. Bepaal alle waarden van x waarvoor A singulier is.
5. a. Stel V een vectorruimte, en v1 , v2 , . . . , vk vectoren in V . Leg uit wat
we bedoelen met de uitspraak dat de verzameling {v1 , v2 , . . . , vk }
lineair onafhankelijk is.
b. Toon aan dat elke eindige verzameling vectoren die de 0-vector bevat
lineair afhankelijk is.
c. Leg uit wat we bedoelen als we zeggen dat de verzameling {v1 , v2 , . . . , vk }
de vectorruimte V opspant.
6. We bekijken in de vectorruimte Rn×n de deelverzameling S van alle scheefsymmetrische matrices, i.e.
S = {A ∈ Rn×n | AT = −A}.
a. Laat zien dat S een deelruimte is van Rn×n .
b. Neem nu aan dat n = 3. Bepaal een basis van S.
c. Neem aan dat n = 3. Wat is de dimensie van S?
Puntenwaardering:
U krijgt 10 punten gratis. Voor elk vraagstuk krijgt u maximaal 15 punten.
Het eindcijfer wordt bepaald door het totale aantal punten door 10 te delen.
2