Examen Oefeningen Lineaire Algebra

Vrije Universiteit Brussel
Faculteit Ingenieurswetenschappen
1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen
Verkorte Programma’s
Academiejaar 2008-2009
1ste zittijd
20 januari 2009
Examen Oefeningen Lineaire Algebra
1. Beschouw de R-vectorruimte R3 [X], en de volgende deelverzameling:
W = {P (X) ∈ R3 [X] | P 0 (X) + (1 − X)P 00 (X) = 0}.
(a) Toon aan dat W een deelruimte is van R3 [X].
(b) Vind een basis van W , en bepaal de dimensie van W .
Beschouw vervolgens de R-lineare afbeelding
f : R3 [X] → R2 [X], f (P (X)) = P 0 (X) + (1 − X)P 00 (X).
(a) Bepaal het beeld van f , alsook de dimensie ervan.
(b) Beschouw de volgende basissen E en F van R3 [X] en R2 [X], respectievelijk:
E = {2, X − 1, X 2 − 3X, X 3 − 4X 2 }; F = {1 − X, 2X 2 + X + 1, 3X}.
Bepaal de matrix [f ]F,E van f t.o.v. E en F .
2. Beschouw de R-vectorruimte C.
• Toon aan dat de volgende formule een inwendig product definieert op C (en dus dat C een
Euclidische ruimte is):
hz, wi = Re(zw) ∈ R,
voor alle z, w ∈ C.
• Bepaal de orthogonale projectie van i ∈ C op de R-deelruimte vectR {1 + i} van C voortgebracht door 1 + i.
• Gegeven w ∈ C, beschouw de R-lineaire afbeelding Lw : C → C : z 7→ wz. Toon aan dat
Lw een orthogonale afbeelding is als en slechts als |w| = 1.
3. Bepaal in R3 (met standaard inwendig product) de matrixvorm (i.e. bepaal de 3 × 3-matrix A
en de 3 × 1-matrix B zodat f (X) = AX + B) van een rotatie rond de rechte met vergelijking
.
2x − 1 = y − 2 = 2z − 3 over de hoek 3π
4
4. Beschouw de R-vectorruimte V = M2,2 (R) en de afbeelding
b : V × V → R : (A, B) 7→ Sp(B t A).
(a) Bewijs dat b een symmetrische bilineaire vorm is op V .
(b) Is b positief definiet? Geef een verklaring.
(c) Bepaal de matrix van de kwadratische vorm q : V → R geassocieerd aan b ten opzichte van
de basis
2 1
1 2
0 1
1 0
,
,
,
.
1 8
1 0
3 2
2 6
Het examen duurt 3,5 uur. Elke vraag staat op 5 punten. Veel succes!