Examen Lineaire Algebra - Wetenschappelijke Kring

Examen Lineaire Algebra
Faculteit Ingenieurswetenschappen
1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen
2de zittijd
6 september 2012
N.B.: Begin elke vraag op een nieuw blad. Gelieve op elk blad je naam en groep te schrijven en
goed aan te duiden welke vraag je beantwoord. Lees de vragen aandachtig, verklaar elke stap en
schrijf duidelijk!
1. Beschouw de vectorruimte Mn,n (R). Voor A ∈ Mn,n (R) noteren we met Sp(A) de som van
de diagonaalelementen van A.
(a) Ga na dat de afbeelding
θ : Mn,n (R) × Mn,n (R) → R : (A, B) 7→ Sp(B t .A)
een inwendig product definieert op Mn,n (R).
(b) Beschouw nu de deelruimte
U = {M ∈ Mn,n (R) | M = M t }.
Wat is de dimensie van deze deelruimte?
(c) Stel nu n = 2. Bereken de beste benadering van de matrix ac db (met a, b, c, d ∈ R)
in de deelruimte U (dit is het element van U zodat de afstand tot de gegeven matrix
minimaal is).
2. Stel E3 een driedimensionale Euclidische ruimte. Beschrijf de isometrie f : E3 → E3 , waar:
 

   
x
−2 1 −2
x
−1
1






−2 −2 1
y + 5 .
f y =
3
z
1 −2 −2
z
−4
Met andere woorden, bepaal fixpunten, spiegelingvlak, rotatierechte, rotatiehoek, verschuiving, . . . van f .
3. Zijn de volgende beweringen juist of fout? Verklaar grondig je antwoord. Indien de bewering
juist is, bewijs; zoniet, geef tegenvoorbeeld.
• Zijn A, B ∈ M2 (C). Dan geldt det(A + B) = det(A) + det(B).
• Beschouw C als 2-dimensionale R-vectorruimte en beschouw de afbeelding f , gedefinieerd
als volgt:
C → C;
a + bi 7→ a − bi,
waarbij a, b ∈ R.
(a) f is een R-lineaire afbeelding.
(b) det(f ) 6= 0.
(c) f is diagonaliseerbaar.
4. Zij V een R-vectorruimte. Noteer B(V ) de verzameling van bilineaire vormen op V ; i.e.
B(V ) = {b : V × V → R | b is bilineair}.
Toon aan dat B(V ) een R-vectorruimte is, waarbij de optelling en de scalaire vermenigvuldiging als volgt gedefinieerd zijn:
• (f + g)(v, v 0 ) := f (v, v 0 ) + g(v, v 0 ), ∀f, g ∈ B(V ), v, v 0 ∈ V ,
• (α.f )(v, v 0 ) := αf (v, v 0 ), ∀f ∈ B(V ), α ∈ R, v, v 0 ∈ V .
Beschouw vervolgens de volgende afbeelding:
φ : B(V ) → HomR (V, HomR (V, R)); b 7→ φ(b),
waarbij, voor v, v 0 ∈ V ,
φ(b) : V → HomR (V, R); v 7→ (φ(b))(v)
en ((φ(b))(v))(v 0 ) = b(v, v 0 ).
• Toon aan dat φ een R-lineaire afbeelding is.
• Bewijs dat φ injectief is.
• Is φ een isomorfisme? Verklaar!
2