Lineaire Algebra 2 Test 3 - Versie A Voornaam

Lineaire Algebra 2 Test 3 - Versie A
Voornaam/achternaam:
Handtekening:
Je krijgt 1 punt gratis.
Opgave 1. Duale ruimte met duale basis (3 punten)
Bepaal de basis β = {z1 , z2 } van de tweedimensionale reële vectorruimte (C, R) zo, dat de duale basis
β ∗ = {z 1 , z 2 } van C∗ gegeven wordt door de lineaire functionalen
z1 : C → R :
z+z
2
z 7→
en z 2 : C → R :
z1 =
z 7→
z−z
.
2i
z2 =
Opgave 2. Riesz-representant (3 punten)
Gegeven is dat de Riesz-representant J −1 (`) van ` ∈ R2×2
∗
ten opzichte van het inproduct
(X, Y ) = Sp(X > Y )
gelijk is aan de matrix
J −1 (`) =
2
1
1
2
.
Evalueer `(J −1 (`)).
`(J −1 (`)) =
Opgave 3. Verdere definities (3 punten)
Laat (F, R) een reële vectorruimte zijn van functies op I = [−1, 1] met 2 ≤ dim(F ) < ∞, voorzien
van de gebruikelijke optelling van functies, en vermenigvuldiging met een reële scalair.
Voor elke x ∈ I, laat εx : F → R : f 7→ f (x). Schrijf H : F → F ∗∗ voor het natuurlijk isomorfisme.
Laat f ∈ F . Schrijf Z(f ) voor de afbeelding met domein I die x afbeeldt op H(f )(εx ).
Dit definieert een afbeelding Z : f 7→ Z(f ) op F . Welke van de volgende uitspraken zijn correct?
ja nee
(1) voor elke x ∈ I is εx ∈ F ∗
ja nee
(2) de toevoeging x 7→ εx is lineair
ja nee
(3) de collectie {εx |x ∈ I} is lineair onafhankelijk
ja nee
(4) H(f ) ∈ homR (F ∗∗ , R)
ja nee
(5) Z is de identieke afbeelding van F naar F
ja nee
(6) het domein van Z is F en het codomein van Z is F ∗ , oftewel, Z : F → F ∗
Puntentelling: Een goed antwoord geeft 0.5 punt, een fout antwoord -0.5 punt. Je kan ook geen
antwoord geven voor 0.0 punten. Het totaal aantal punten voor opgave 3 wordt nooit negatief.
Kladpapier (wordt niet meegenomen in de beoordeling!)
2