Opgaven week 4: Dualiteit

Opgaven week 4: Dualiteit
Opgave 4.1
Geef voor ieder van de volgende vectorruimtes twee voorbeelden van elementen uit de duale,
(a) (R, R)
(b) (C, C)
(c) (C, R)
(d) (R3×2 , R)
(e) (RN , R)
(f ) (R[X]≤3 , R)
(g) (R∗ , R)
(h) ((RR )∗ , R).
Opgave 4.2
(a) Geef de duale basis β ∗ horende bij de basis β = {2} van (C, C).
(b) Geef de duale basis β ∗ horende bij de basis β = {1, i} van (C, R).
Opgave 4.3
Gegeven is de basis β = {v1 , v2 , v3 } van R3 waarbij
 
 
 
1
1
1
v1 =  0  , v 2 =  1  , v 3 =  1  .
1
0
0
Geef de volledige functievoorschriften van de elementen v 1 , v 2 , v 3 van de duale basis β ∗ .
Opgave 4.4
Ga na dat de afbeelding L lineair is, waarbij
L : Kn → (Kn )∗ : y 7→ `y
(1)
en waarbij `y : Kn → K : x 7→ y > x.
Opgave 4.5
Definieer de afbeelding
π : C(I) → R[X]≤1 :
f 7→ π(f )
(2)
die aan f ∈ C(I) toevoegt het lineaire polynoom π(f ) ∈ R[X]≤1 dat waarde f (a) aanneemt
in a en f (b) in b. Het polynoom π(f ) heet de lineaire interpolant van f .
(a) Bewijs dat π een goed gedefinieerde lineaire afbeelding is.
1
(b) Ga na dat voor alle f ∈ C(I),
Tab (f ) = Iab (π(f )),
(3)
waarbij Iab en Tab zijn zoals gedefinieerd in één van de voorbeelden.
Opgave 4.6
Beschouw de vectorruimte (R[X]≤2 , R) met basis β = {φ0 , φ1 , φ2 } waarbij
φ0 : R → R :
X 7→ 1,
φ1 : R → R :
X 7→ X,
φ2 : R → R :
X 7→ X 2 .
Laat voor gegeven x ∈ R de afbeelding εx gedefinieerd zijn door
εx : R[X]≤2 → R :
f 7→ f (x).
(a) Laat zien dat εx ∈ (R[X]≤2 )∗ .
Laat β ∗ = {φ0 , φ1 , φ2 } de bij β horende duale basis zijn van (R[X]≤2 )∗ , en
coβ ∗ : (R[X]≤2 )∗ → R3
de bij β ∗ horende coördinaatafbeelding.
(b) Bereken coβ ∗ (εx ).
Opgave 4.7
Beschouw de vectorruimte (R[X]≤2 , R) met basis β = {φ0 , φ1 , φ2 } waarbij
φ0 : R → R :
X 7→ 1,
φ1 : R → R :
X 7→ X,
φ2 : R → R :
Laat zoals voorheen de afbeelding T01 gedefinieerd zijn als
T01 : R[X]≤2 → R :
1
f 7→ (f (0) + f (1)).
2
(a) Laat zien dat T01 ∈ (R[X]≤2 )∗ .
Laat β ∗ = {φ0 , φ1 , φ2 } de bij β horende duale basis zijn van (R[X]≤2 )∗ , en
coβ ∗ : (R[X]≤2 )∗ → R3
de bij β ∗ horende coördinaatafbeelding.
(b) Bereken coβ ∗ (T01 ).
Opgave 4.8
Beschouw op de vectorruimte (R2×2 , R) de afbeelding
Sp : R2×2 → R :
(a) Laat zien dat Sp ∈ (R2×2 )∗ .
2
A 7→ Sp(A).
X 7→ X 2 .
Schrijf h·, ·i voor de duale koppeling tussen R2×2 en (R2×2 )∗ .
(b) Bereken hSp, Ii.
Laat nu ε = {E1 , E2 , E3 , E4 } de standaardbasis van R2×2 zijn, dus
1 0
0 0
0 1
0 0
E1 =
, E2 =
, E3 =
, E4 =
.
0 0
1 0
0 0
0 1
Laat ε∗ = {E 1 , E 2 , E 3 , E 4 } de duale basis zijn van ε voor de duale ruimte (R2×2 )∗ , en
coε∗ : R2×2 → R4
de bijbehorende coördinaatafbeelding.
(c) Bereken coε∗ (Sp).
Opgave 4.9. De duale basis β ∗∗ van de duale basis β ∗
Gegeven is een vectorruimte (V, K) met basis β = {v1 , . . . , vn }. Laat β ∗ = {v 1 , . . . , v n } de bij
β horende duale basis van V ∗ zijn. Schrijf
H : V → V ∗∗ :
v 7→ H(v), waarbij
H(v) : V ∗ → K :
v ∗ 7→ hv ∗ , vi
voor het natuurlijke isomorfisme tussen V en V ∗∗ .
Bewijs dat β ∗∗ = {H(v1 ), . . . , H(vn )} de duale basis van β ∗ voor V ∗∗ is.
3