Lineaire Algebra 1

Lineaire Algebra 1
Bachelor wiskunde jaar 1
Tussentoets
Datum: 23 Oktober, 2015
Tijd: 13.00-16.00
Aantal pagina’s: 3 (inclusief voorblad)
Aantal vragen: 6
Maximum aantal te behalen punten: 100
Bij iedere vraag staat vermeld hoeveel punten hij waard is.
VOORDAT U BEGINT
• Controleer of uw versie van het tentamen compleet is.
• Schrijf uw naam en studentnummer en indien van toepassing versienummer op elk vel papier
dat u inlevert en nummer de pagina’s.
• Uw mobiele telefoon moet uit staan en in uw jas of tas zitten. Uw jas en tas moeten op de
grond liggen.
• Toegestane hulpmiddelen: kladpapier. Overige hulpmiddelen zijn niet toegestaan.
HUISHOUDELIJKE MEDEDELINGEN
• De eerste 30 minuten mag u de zaal niet verlaten, ook niet voor het bezoeken van het toilet.
• 15 minuten voor het eind wordt u gewaarschuwd dat het inlevertijdstip nadert.
• Vul na afloop van het tentamen het evaluatieformulier in, indien van toepassing.
• U bent verplicht zich op verzoek van de examinator (of diens vertegenwoordiger) te kunnen
legitimeren met een bewijs van inschrijving en een geldig legitimatiebewijs.
• Tijdens het tentamen is toiletbezoek niet toegestaan, tenzij de surveillant hier toestemming voor
geeft.
Succes!
Puntentelling
Je krijgt tien punten gratis, de overige 90 kan je scoren in de zes opgaven hieronder. In Opgave 1
betekent een incorrect antwoord meteen geen punten voor dat onderdeel. Werk zorgvuldig en controleer
je antwoorden. In Opgave 3 bewijs je resultaten uit het boek, die je derhalve niet als argument voor
het bewijs mag gebruiken.
1. Elementaire vaardigheden (20 punten)
Gegeven A ∈ R3×3 en b ∈ R3 ,

0
A =  −1
1
4
0
2

2
1 
0

en

2
b =  −2  .
3
(a=4) Bepaal een linksinverse van b.
(b=5) Bepaal de oplossingsverzameling van het stelsel eerstegraadsvergelijkingen Ax = b.
(c=5) Geef een basis voor de nulruimte N (A) = {x ∈ R3 | Ax = 0} van A.
Laat nu B = A + I, waarbij I de 3 × 3 identiteitsmatrix is.
(d=6) Bereken de inverse van de matrix B.
2. Vectorruimtes en hun axioma’s (12 = 8 × 1.5 punten)
Een reële vectorruimte is een verzameling V met optelling ⊕ die de volgende eigenschappen heeft:
(C) commutativiteit;
(A) associativiteit;
(N) neutraal element;
(T) tegengesteld element.
Ook is een scalaire vermenigvuldiging ⊗ met een reëel getal gedefinieerd, met eigenschappen
(D1) distributiviteit 1; (D2) distributiviteit 2; (G) gemengde associativiteit; (C1) coëfficiënt 1.
Laat nu
V =
x1
x2
∈R
2
| x1 > 0 .
Definieer een optelling ⊕ en een scalaire vermenigvuldiging ⊗ op V als volgt,
x1 y1
xλ1
x1
x1
y1
√
∈
V,
en
λ
⊗
=
∈ V.
⊕
= p
3
3
x2
x2
y2
λ x2
x32 + y23
Ga voor ieder van de acht vectorruimte-axioma’s na, of V er met deze bewerkingen aan voldoet.
3. De coördinaatafbeelding (15 punten)
Laat V een reële vectorruimte zijn. Veronderstel dat β = {v1 , v2 , v3 } een basis is van V . Beschouw
de door β bepaalde coördinaatafbeelding
coβ : V → R3 :
v 7→ coβ (v),
die v afbeeldt op de coördinaten van v ten opzichte van de basis β.
(a=9) Bewijs dat coβ een bijectieve afbeelding is.
(b=6) Bewijs dat coβ een lineaire afbeelding is.
2
4. Deelruimtes en hun directe som (15 punten)
Voor een gegeven matrix A ∈ R2×2 definiëren we de matrix A◦ als volgt,
◦ a b
d c
=
,
c d
b a
oftewel, de operatie A◦ roteert de matrix A een halve slag. Laat nu
V = {A ∈ R2×2 | A◦ = −A}
de verzameling van scheefrotatiesymmetrische matrices zijn.
(a=8) Bewijs dat V een deelruimte is van R2×2 en bepaal een basis voor V .
Laat U = {A ∈ R2×2 | A◦ = A}. Dit is ook een deelruimte van R2×2 .
(b=7) Bewijs dat U ⊕ V = R2×2 .
5. De matrix van een afbeelding (13 punten)
Laat R[X]≤2 de reële vectorruimte zijn van polynomen van graad twee en lager. Definieer de afbeelding
p(1) p0 (1)
L : R[X]≤2 → R2×2 : p 7→
,
(1)
p0 (1) p00 (1)
waarbij p0 (1) de eerste afgeleide is van p in 1, en p00 (1) de tweede afgeleide van p in 1.
(a=6) Bewijs dat L een injectieve lineaire afbeelding is, die niet surjectief is.
Schrijf β voor de standaardbasis van R[X]≤2 en laat γ de volgende basis van R2×2 zijn,
1 0
1 1
1 0
1 −1
γ=
,
,
,
.
0 0
1 1
0 1
1
1
Schrijf coβ en coγ voor de respectievelijke bijbehorende coördinaatafbeeldingen.
(b=7) Bepaal de matrixvoorstelling Lγβ van L ten opzichte van β en γ.
6. Eén vectorruimte, twee basissen, drie onderdelen, vijftien punten
Schrijf ε = {e1 , e2 , e3 } voor de standaardbasis van R3 , en laat β = {b1 , b2 , b3 }, waarbij






1
4
2
b1 =  −1  , b2 =  1  , b3 =  1  .
1
2
1
(a=5) Bewijs dat β een basis is van R3 .
(b=5) Bepaal de matrix van basisverandering van β naar ε.
Veronderstel dat L : R3 → R3 een lineaire afbeelding is, waarvan de matrix Lβε gelijk is aan


1
0 −1
1 .
Lβε =  0 −1
−1
1
0
(c=5) Bepaal Lεβ .
3