Lineaire Algebra 1

Lineaire Algebra 1
Bachelor wiskunde jaar 1
Tentamen
Datum: 20 december, 2016
Tijd: 13.00-16.00
Aantal pagina’s: 3 (inclusief voorblad)
Aantal vragen: 5
Maximum aantal te behalen punten: 100
Bij iedere vraag staat vermeld hoeveel punten hij waard is.
VOORDAT U BEGINT
• Controleer of uw versie van het tentamen compleet is.
• Schrijf uw naam en studentnummer en indien van toepassing versienummer op elk vel papier
dat u inlevert en nummer de pagina’s.
• Uw mobiele telefoon moet uit staan en in uw jas of tas zitten. Uw jas en tas moeten op de
grond liggen.
• Toegestane hulpmiddelen: kladpapier. Overige hulpmiddelen zijn niet toegestaan.
HUISHOUDELIJKE MEDEDELINGEN
• De eerste 30 minuten mag u de zaal niet verlaten, ook niet voor het bezoeken van het toilet.
• 15 minuten voor het eind wordt u gewaarschuwd dat het inlevertijdstip nadert.
• Vul na afloop van het tentamen het evaluatieformulier in, indien van toepassing.
• U bent verplicht zich op verzoek van de examinator (of diens vertegenwoordiger) te kunnen
legitimeren met een bewijs van inschrijving en een geldig legitimatiebewijs.
• Tijdens het tentamen is toiletbezoek niet toegestaan, tenzij de surveillant hier toestemming voor
geeft.
Succes!
Puntentelling en bewijs-onderdelen
Je krijgt 10 punten gratis, en je kan 5 × 18 = 90 punten verdienen met de opgaven. In Opgave 4
bewijs je enkele stellingen uit het boek. Die stellingen mag je daarbij dus niet als argument gebruiken.
Opgave 1. Eigenwaarden en eigenvectoren (18 punten)
Gegeven is de matrix


1 0
−1 2  .
−3 4
−1
A =  −1
−1
(a=4) Bepaal een basis voor de nulruimte N (A) van A.
(b=4) Bepaal de determinant van A.
(c=5) Bereken alle eigenwaarden van A met alle bijbehorende eigenvectoren.
(d=5) Geef de meetkundige en algebraı̈sche multipliciteiten
d(λ) en
m(λ)
voor iedere eigenwaarde λ van A en motiveer of A diagonaliseerbaar is.
Opgave 2. Determinanten (18 punten)
Gegeven de 1 × 1 matrix A0 = [1] definiëren we een rij matrices (An )n∈N middels
An An
.
An+1 =
−An An
Hiermee is An dus een 2n × 2n matrix waarvan iedere entry uit {−1, 1} komt, bijvoorbeeld

1
1
1 1
 −1
A0 A0
1 1
A1 A1
1 −1 1

A1 =
=
, A2 =
=
−A0 A0
−1 1
−A1 A1
−1 −1
1 1
1 −1 −1 1




enzovoorts.
(a=5) Bereken de determinanten van A0 , A1 en A2 . Laat duidelijk zien hoe je dit doet.
Stel dat p zo is, dat Ap rij-equivalent is met een bovendriehoeksmatrix Rp en dat det(Rp ) = det(Ap ).
(b=4) Bepaal een bovendriehoeksmatrix Rp+1 rij-equivalent met Ap+1 met det(Rp+1 ) = det(Ap+1 ).
(c=5) Bewijs hiermee dat
p
det(Ap+1 ) = 22 · det(Ap )2
en vervolgens dat deze formule zelfs geldt voor alle p ∈ N.
(d=4) Bewijs nu met volledige inductie dat
n−1
det(An ) = 2(n·2 )
voor alle n ∈ N. Terzijde: ook als je onderdeel (c) niet kon maken, mag je (c) uiteraard wel gebruiken.
2
Opgave 3. Een reëel inproduct (18 punten)
Beschouw de vectorruimte R[X]≤1 van alle reële polynomen in X van graad ten hoogste één.
Definieer nu een afbeelding van R[X]≤1 × R[X]≤1 naar R als volgt,
Z
Z 1
Z 0
Z 0
p(X)dX ·
q(X)dX +
p(X)dX ·
hp, qi =
−1
−1
0
1
q(X)dX
0
voor alle p, q ∈ R[X]≤1 .
(a=6) Bewijs dat h·, ·i een reëel inproduct definieert op R[X]≤1 .
(b=6) Pas het Gram-Schmidt proces toe op de standaardbasis β = {1, X} van R[X]≤1 .
Laat U de deelruimte van R[X]≤1 zijn die opgespannen wordt door het polynoom X.
(c=6) Bepaal de loodrechte projectie van het polynoom 1 + 2X op U .
Opgave 4. Eigenwaarden en eigenschappen van Hermietse matrices (18 punten)
Beschouw de complexe vectorruimte C3 voorzien van het standaard complexe inproduct
hx, yi = x∗ y voor alle
x, y ∈ C3 .
Zij A ∈ C3×3 een Hermietse matrix, oftewel, A∗ = A.
(a=6) Bewijs dat hAx, yi = hx, Ayi voor alle x, y ∈ C3 .
(b=6) Laat λ een eigenwaarde zijn van A. Bewijs dat λ reëel is.
Veronderstel nu dat 0 een eigenwaarde is van A met meetkundige multipliciteit twee.
(c=6) Bewijs dat de algebraı̈sche multipliciteit van 0 ten minste twee is.
Opgave 5. Een Hermietse lineaire afbeelding op een complexe inproductruimte (18 punten)
Op de driedimensionale complexe vectorruimte B bestaande uit alle complexe 2 × 2 bovendriehoeksmatrices definiëren we de inverteerbare lineaire transformatie L (met inverse L−1 ) als volgt,
a b
b c
L:B→B:
7→
,
0 c
0 a
die de bovendriehoeksentries van een matrix uit B een positie tegen de klok in verplaatst. Definieer
tevens
K:B→B: X→
7 L(X) + L−1 (X).
We voorzien B van het complexe inproduct hY, Zi = Tr(Y ∗ Z), waarbij Tr staat voor het spoor.
(a=6) Laat zien dat K een Hermietse afbeelding is, oftewel, dat voor alle Y, Z ∈ B,
hK(Y ), Zi = hY, K(Z)i.
Volgens de spectraalstelling heeft B dus een orthonormale basis van eigenvectoren van K.
(b=6) Bereken een orthonormale basis β van eigenvectoren van K en bepaal Kββ .
Iedere eigenvector van L is ook een eigenvector van K, maar met een andere eigenwaarde.
(c=6) Toon dit aan, en beschrijf hoe je hiermee de eigenwaarden van L kunt bepalen.
3