Vragen Hogere wiskunde, 1KIRA

Vragen Hogere wiskunde, 1KIRA
8 oktober 2002
EERSTE REEKS VRAGEN
2002-2003
1. Geef een overzicht van de bewijsvoering die aantoont dat een vectorruimte steeds een basis
heeft en dat het aantal elementen in de basis (de dimensie van de ruimte) onafhankelijk is
van de gekozen basis.
2. Geef en bewijs een aantal equivalente criteria voor de inverteerbaarheid van een vierkante
reële matrix.
3. Geef en bewijs de isomorfismestelling voor vectorruimten.
4. Bewijs dat de verzameling Lin(V, W ) van lineaire afbeeldingen een vectorruimte vormt.
Welke dimensie heeft ze? Waarmee is ze isomorf?
5. Welk precies verband bestaat er tussen lineaire afbeeldingen en matrices?
6. Bewijs dim X + dim Y = dim(X + Y ) + dim(X ∩ Y ).
7. Bewijs dat voor f ∈ Lin(V, W ) geldt corang f + rang f = dim V .
8. Onder welke voorwaarden beeldt een lineaire transformatie een basis af op een basis? Bewijs
9. Geef en bewijs de eigenschappen en definities die leiden naar het begrip rang van een matrix.
10. Hoe verandert de matrixvoorstelling van een lineaire afbeelding f ∈ Lin(V, W ) tussen vectorruimten V en W als in V en W basistransformaties worden doorgevoerd?
11. Bewijs dat een interpolerende veelterm van graad n door n + 1 verschillende punten bestaat
en enig is.
12. Bespreek hoe men een willekeurig stelsel van m lineaire vergelijkingen met n onbekenden
kan oplossen: theoretisch en praktisch. Is er iets speciaals mogelijk als m = n. Welke
vereenvoudigingen zijn er door te voeren als m = n en de matrix van het stelsel regulier is.
1