Proef-Toets Algebra 1

Proef-Toets Algebra 1
maart 2012, duur: drie uur
Maak vijf van de volgende zes opgaven. Indien U er meer maakt worden de vijf best
gemaakte geteld.
1) Laat G een groep zijn en H ⊂ G een deelverzameling.
i) Wanneer heet H een ondergroep van G? (Geef de definitie van een ondergroep.)
ii) Bewijs: H is een ondergroep van G dan en slechts dan als H niet leeg is en met
ieder tweetal elementen x, y ∈ H ook xy −1 in H is bevat.
2) Laat n een positief geheel getal zijn.
i) Geef de definitie van de symmetrische groep Sn .
ii) Bewijs de Stelling van Cayley: een eindige groep van orde n is isomorf met een
ondergroep van Sn .
3) Laat f : G1 → G2 een groepshomomorfisme zijn. Bewijs dat als x ∈ G1 eindige orde
heeft, f (x) ook eindige orde heeft en dat de orde van f (x) een deler is van de orde van x.
4) Zij A4 de alternerende groep in de symmetrische groep S4 . Laat verder V4 de viergroep van Klein zijn.
i) Geef een injectief homomorfisme f : V4 → A4 . Noem het beeld H.
ii) Bepaal de linkernevenklassen van H in A4 .
iii) Geef een volledig stelsel representanten van de linkernevenklassen van H in S4 .
iv) Geldt gH = Hg voor alle g ∈ S4 ?
5) Laat φ(n) de phi-functie van Euler zijn.
i) Bereken φ(1001).
ii) Bewijs dat x21 ≡ x (mod 55) voor alle x ∈ Z.
iii) Bewijs dat de groep (Z/55Z)∗ niet cyklisch is.
6) Laat n ∈ Z≥3 en laat σ, τ ∈ Sn twee 3-cykels zijn. Bewijs dat de orde van στ gelijk
is aan 1, 2, 3 of 5. Laat verder aan de hand van voorbeelden zien dat elk van genoemde
mogelijkheden kan optreden als n ≥ 5.