Toets Algebra 1 - Gerard van der Geer

Toets Algebra 1
10-05-2010, 15:00-17:00 uur, Zaal C.206
Maak vijf van de opgaven 1 t/m 6. Indien U er meer maakt worden de vijf best gemaakte
geteld. Voor de honours variant: maak vijf van de opgaven 3 t/m 8.
1)
i) Laat p een priemgetal zijn en n een geheel getal. Bewijs dat
nk(p−1)+1 ≡ n (mod p)
voor alle k ∈ Z≥0 .
ii) Laat zien dat n13 − n deelbaar is door 2730 voor alle n ∈ Z.
2) Bewijs de volgende stelling: Laat G een groep zijn en N een normaaldeler van G.
Laat verder H een ondergroep van G zijn met N ⊆ H. Dan is H/N = {hN : h ∈ H}
een ondergroep van G/N . Omgekeerd is iedere ondergroep van G/N van deze vorm.
3) Laat G = C∗ de multiplicatieve groep van de complexe getallen ongelijk 0 zijn.
√
i) Wat is de orde van de ondergroep H = hii van G voortgebracht door i = −1?
ii) Bewijs het isomorfisme G/H ∼
= G.
4) Laat A en B de volgende complexe 2 × 2 matrices zijn in GL(2, C):
0 1
0 i
.
, B=
A=
−1 0
i 0
a) Bereken de orde van A en van B.
b) Bereken de commutator van A en B.
c) Beschouw de ondergroep G = hA, Bi van GL(2, C) voortgebracht door A en B.
Laat zien dat G een niet-abelse groep is van orde 8 die precies één ondergroep van
orde 2 bezit.
5) Zij G de ondergroep van de symmetrische groep S5 voortgebracht door de cykels
σ = (1 2 3 4 5) en τ = (1 5)(2 4).
i) Bewijs dat G isomorf is met de diëdergroep van orde 10.
ii) Bewijs dat σ een normaaldeler van G voortbrengt.
iii) Bepaal de commutatorondergroep [G, G] en het centrum Z(G) van G.
6)
i) Laat G een groep zijn. Geef de definitie van het centrum Z(G) van G.
ii) Bewijs dat het centrum Z(G) van G een normaaldeler van G is.
iii) Bepaal het centrum van de symmetrische groep Sn .
7) Laat G een niet-commutatieve groep van orde 21 zijn.
i) Laat zien dat de getallen 1, 3 en 7 de getallen zijn die optreden als orde van een
element van G.
ii) Laat x, y ∈ G met x van orde 3 en y van orde 7. Laat zien dat xy 6= yx.
iii) Laat zien dat xyx−1 = y a met a = 2 of a = 4.
8) Laat N een normaaldeler van de eindige groep G zijn en p een priemgetal dat de
orde van G deelt. Neem aan dat p de index [G : N ] niet deelt. Bewijs dat N iedere
p-Sylow-ondergroep van G bevat.