Tentamen Algebra 1 - Gerard van der Geer
advertisement
Tentamen Algebra 1
19-05-2010, 9:00-12:00 uur, REC-B B1.B
Maak vijf van de opgaven 1 t/m 6. Indien U er meer maakt worden de vijf best gemaakte
geteld. Voor de honours variant: maak vijf van de opgaven 3 t/m 8.
1) Bereken de inverse en de orde van 32 mod 131 in (Z/131 Z)∗ .
2) Laat G een groep zijn die werkt op een verzameling X. Laat verder x ∈ X een
element van X zijn.
i) Geef de definitie van de baan Gx van x en van de stabilisator Gx van x in G.
ii) Neem aan dat G een eindige groep is. Bewijs #Gx = [G : Gx ].
3) Laat GL2 (R) de groep van reèˆle 2 × 2-matrices zijn met determinant ongelijk 0.
a) Laat zien dat
a b
G = {(
) : a ∈ R∗ , b ∈ R}
0 1
een ondergroep van GL2 (R) is.
b) Bewijs dat
N = {(
1 b
) : b ∈ R}
0 1
een normaaldeler van G is.
c) Bewijs het isomorfisme G/N ∼
= R∗ .
4) Laat k en n gehele getallen zijn met 2 ≤ k ≤ n. Laat Hk de ondergroep van Sn
gedefinieerd zijn door Hk = hσ ∈ Sn : σ is een k-cykeli.
i) Bewijs voor k ≥ 3 de identiteit
(1 2 3) = (1 2)(1 2 . . . k)(1 2)−1 (1 2 . . . k)−1 .
ii) Bewijs dat An ⊆ Hk met An de alternerende groep.
iii) Bewijs: ieder element van Sn is te schrijven als product van k-cykels dan en slechts
dan als k even.
5) Laat Q de optelgroep van de rationale getallen zijn.
i) Bewijs dat ieder element van Q/Z eindige orde heeft.
ii) Laat G een groep van oneindige orde zijn. Laat zien dat G oneindig veel ondergroepen heeft.
6) Laat G een groep zijn en laat S = {g 2 : g ∈ G} de verzameling van de kwadraten
van elementen van G zijn.
i) Bewijs dat iedere ondergroep van index 2 in G de verzameling S bevat.
ii) Laat H een ondergroep van G zijn die S bevat. Bewijs dat H een normaaldeler is
en dat G/H abels is.
7) Laat G een eindige groep zijn en p het kleinste priemgetal dat de orde van G deelt.
Bewijs: Als H een normaaldeler is van G van orde p dan ligt H in het centrum van G.
8) Formuleer de Derde Sylow-Stelling. Laat zien dat een groep van orde 200 een Sylowondergroep bevat die een normaaldeler is.
