HERTENTAMEN TOPOLOGIE

HERTENTAMEN TOPOLOGIE
25-08-2008, 14.00-17.00 uur, zaal 412
Het gebruik van electronische hulpmiddelen (rekenmachine (al dan niet grafisch), mobiele
telefoon, laptop etc.) is niet toegestaan.
Let op: Het cijfer voor dit schriftelijk tentamen is gelijk aan
min(10, max(1, aantal behaalde punten)) .
Er zijn opgaven t.w.v. 12 punten, maar het cijfer voor dit tentamen is
maximaal een 10; kies de te maken opgaven dus goed uit.
1. (a) (0.5 punt) Bewijs dat
B := { (a, b] | a, b ∈ R , a < b } ∪ {∅}
de basis van een topologie TB in R is.
(b) (0.5 punt) Is (R, TB )
i. Hausdorffs,
ii. compact?
(c) (1 punt) Bewijs dat { (a, b] | a, b ∈ Q , a < b } geen basis is van TB .
(d) (1 punt) Bewijs dat¡ in ¢(R, TB ) de puntrij ( n1 )n∈N niet convergeert, maar dat
er wel geldt lim − n1 = 0 .
n−→∞
2. (1.5 punten) Laat f : X −→ Y een continue afbeelding zijn tussen topologische
ruimten. f heet eigenlijk of proper indien f −1 (K) ⊂ X compact is voor elke
compacte deelverzameling K ⊂ Y . Bewijs:
X compact, Y Hausdorff, f : X −→ Y continu =⇒ f eigenlijk.
3. (2 punten) Laat X een topologische ruimte zijn. Beschouw X × X met de producttopologie, en de diagonaal ∆ := { (x, x) ⊂ X × X | x ∈ X } ⊂ X × X met de
hierdoor geı̈nduceerde topologie. Bewijs dat de afbeelding X −→ ∆ , x 7→ (x, x) ,
een homeomorfisme is.
4. (a) (1 punt) Geef de preciese definitie van een rijcompacte topologische ruimte.
(b) (1 punt) Laat X een rijcompacte ruimte zijn en Y ⊂ X een gesloten deelverzameling met de geı̈nduceerde topologie. Bewijs dat Y rijcompact is.
Opgave 5. en 6. z.o.z.
1
5. (2 punten) Bepaal voor elk van de volgende topologische ruimten de fundamentaalgroep. Een exact bewijs is niet nodig; een goed meetkundig argument (bij voorkeur
ondersteund door een plaatje) is voldoende.
(a) { (x, y, z) ∈ R3 | xyz = 0 }
(b) { (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≥ 1 }
(c) { (x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 ≥ 1 }
(d) { (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 2 en x2 + (y − 1)2 ≥ 1 }
6. (1.5 punten) Beschouw de eenheidscirkel S 1 := { x ∈ R2 | kxk = 1 } . Bewijs dat
er geen continue afbeelding f : R2 −→ S 1 bestaat zodat f |S 1 : S 1 −→ S 1 een
homeomorfisme is.
2