Opgavenblad 5

Topologie, voorjaar 2016
Opgavenblad 5
1 maart
1. (Runde, 3.1.7.) Zij (X, TX ) een topologische ruimte, en zij S een deelverzameling
van X. Bewijs dat X \ S ◦ = X \ S en X \ S̄ = (X \ S)◦ .
2. Laat zien dat er voor de euclidische topologie op Rn een aftelbare basis bestaat.
3. Zij (X, T ) een topologische ruimte, en zij B een basis voor T . Zij Y een deelruimte
van X. Laat zien dat {U ∩ Y | U ∈ B} een basis voor de deelruimtetopologie op Y is.
4. Zijn (X, TX ) en (Y, TY ) topologische ruimten, en zij B een basis voor TY . Zij f : X → Y
een afbeelding. Laat zien dat f continu is dan en slechts dan als voor elke U ∈ B de
verzameling f −1 U open is in X.
5. Zijn (X, TX ) en (Y, TY ) topologische ruimten zodanig dat TX de triviale (= chaotische) topologie op X is en (Y, TY ) een Hausdorffruimte is. Bewijs dat elke continue
afbeelding f : X → Y constant is.
6. (Runde, 3.2.10.) Zijn (X, TX ) en (Y, TY ) topologische ruimten, en zij D ⊆ X een
dichte deelverzameling. Zijn f, g: X → Y twee afbeeldingen waarvoor geldt f |D = g|D .
(a) Neem aan dat (Y, TY ) een Hausdorffruimte is. Bewijs dat f en g gelijk zijn.
(b) Geef een voorbeeld van een situatie als boven (met Y geen Hausdorffruimte)
waarbij f en g ongelijk zijn.
7. Zij (X, TX ) een topologische ruimte. Zij ∼ een equivalentierelatie op de verzameling X, zij Q = X/∼ de quotiëntverzameling, en zij q: X → Q de quotiëntafbeelding.
(a) Zij TQ de collectie van deelverzamelingen van Q gedefinieerd door
TQ = {U ⊆ Q | q −1 U is open in X}.
Bewijs dat TQ een topologie op Q is, en dat q een continue afbeelding (X, TX ) →
(Q, TQ ) definieert.
(b) We voorzien Q van de topologie TQ uit (a). Zij Z een topologische ruimte, en
zij f : X → Z een continue afbeelding zodanig dat voor alle x, x′ ∈ X geldt
x ∼ x′ ⇒ f (x) = f (x′ ). Bewijs dat er een unieke continue afbeelding g: Q → Z
bestaat zodanig dat f = g ◦ q.
De topologie TQ uit de bovenstaande opgave heet de quotiënttopologie op Q. De bovenstaande opgave laat zien dat wanneer we Q = X/∼ voorzien van de quotiënttopologie,
de universele eigenschap van quotiëntverzamelingen betekenis blijft houden in de context
van continue afbeeldingen.
In de onderstaande opgaven is een product X ×Y van topologische ruimten steeds voorzien
van de producttopologie TX×Y .
8. Zijn X en Y discrete topologische ruimten. Laat zien dat X × Y discreet is.
9. Zijn (X, TX ) en (Y, TY ) topologische ruimten, zij BX een basis voor TX , en zij BY
een basis voor TY . Laat zien dat {U × V | U ∈ BX , V ∈ BY } een basis voor de
producttopologie TX×Y is.
1
10. Zij X een verzameling, zijn T1 en T2 topologieën op X, zij B1 een basis voor T1 , en
zij B2 een basis voor T2 .
(a) Stel dat er voor alle x ∈ X en alle U1 ∈ B1 met x ∈ U1 een U2 ∈ B2 bestaat
met x ∈ U2 en U2 ⊆ U1 . Bewijs dat T2 fijner is dan (of gelijk is aan) T1 , d.w.z.
T1 ⊆ T2 .
(b) Bewijs dat de producttopologie op R × R gelijk is aan de euclidische topologie
op R2 .
11. Zij X een topologische ruimte. Laat zien dat X een Hausdorffruimte is dan en slechts
dan als de diagonaal
∆X = {(x, x) | x ∈ X}
een gesloten deelverzameling van X × X is.
12. Zij X een topologische ruimte. Laat zien dat X een Hausdorffruimte is dan en slechts
dan als X × X een Hausdorffruimte is.
2