TOPOLOGIE deeltentamen 1 Vrije Universiteit Faculteit der

TOPOLOGIE deeltentamen 1
Vrije Universiteit
Faculteit der Exacte Wetenschappen
Afdeling Wiskunde
De Boelelaan 1081a, Amsterdam
Elke goedgemaakte opgave levert één punt op.
‘Goedgemaakt’ wil zeggen: correct, volledig beargumenteerd en netjes opgeschreven.
Inleveren
uiterlijk op 5 november 2010; per e-mail naar
[email protected] in pdf of jpg formaat, subject:
Topologie D1. Samenwerken mag; lever dan per team
één stel oplossingen in.
1. a. En punt x in een topologische ruimte X heet een splitspunt als X samenhangend is
maar X \ {x} niet samenhangend is. Laat zien dat als h: X → Y een homeomorfisme
is en x een splitspunt in X is dan is h(x) een splitspunt in Y .
b. Toon aan dat er geen homeomorfismen bestaan tussen de intervallen [0, 1], [0, 1) en
(0, 1).
f : X → Y is een surjectieve functie en X en Y zijn topologische ruimten. Gegeven is
bovendien dat Y samenhangend is en dat elke vezel f −1 (y) voor y ∈ Y ook samenhangend
is. Toon aan of geef een tegenvoorbeeld:
c. Als f continu is dan is X samenhangend.
d. Als f open is dan is X samenhangend.
2. Laten f, g: X → Y continue functies zijn tussen topologische ruimten. Laat A een dichte
deelverzameling zijn van X zodat f (a) = g(a) voor elke a ∈ A. Voor de volgende twee
uitspraken geef een bewijs of een tegenvoorbeeld.
a. Als X een Hausdorff ruimte is dan geldt f = g.
b. Als Y een Hausdorff ruimte is dan geldt f = g.
c. Laat (X, d) een metrische ruimte zijn zodat elke oneindige deelverzameling een limietpunt heeft. Bewijs dat de ruimte volledig is.
d. Bewijs dat elke niet-lege aftelbare volledige metrische ruimte geı̈soleerde punten heeft.
3. Het vlak van Sorgenfrey S ×S is de verzameling R×R met de topologie die voortgebracht
wordt door de basis {[a, b) × [c, d) : a < b, c < d}.
a. Toon aan dat S × S eerste aftelbaar is.
b. Toon aan dat S × S niet tweede aftelbaar is.
c. Toon aan dat S × S separabel is.
d. Toon aan dat S × S niet erfelijk separabel is, dwz. S × S bevat een deelruimte die niet
separabel is.
EINDE
1