TOPOLOGIE deeltentamen 1 Vrije Universiteit Faculteit der Exacte

TOPOLOGIE deeltentamen 1
Vrije Universiteit
Faculteit der Exacte Wetenschappen
Afdeling Wiskunde
De Boelelaan 1081a, Amsterdam
Elke goedgemaakte opgave levert één punt op.
‘Goedgemaakt’ wil zeggen: correct, volledig beargumenteerd en netjes opgeschreven. Inleveren uiterlijk
op 14 november 2007. Samenwerken mag; lever dan
per team één stel oplossingen in.
1. a. En punt x in een topologische ruimte X heet een splitspunt als X samenhangend is
maar X \ {x} niet samenhangend is. Laat zien dat als h: X → Y een homeomorfisme
is en x een splitspunt in X is dan is h(x) een splitspunt in Y .
b. Toon aan dat er geen homeomorfismen bestaan tussen de intervallen [0, 1], [0, 1) en
(0, 1).
Laten A en B twee deelverzamelingen zijn van een samenhangende ruimte X zodat A ∪
B = X. Neem aan dat A ∩ B samenhangend is. Toon aan of geef een tegenvoorbeeld:
c. Als A en B gesloten zijn dan zijn A en B samenhangend.
d. Als A open is en B gesloten dan zijn A en B samenhangend.
2. Laten f, g: X → Y continue functies zijn tussen topologische ruimten. Laat A een dichte
deelverzameling zijn van X zodat f (a) = g(a) voor elke a ∈ A. Voor de volgende twee
uitspraken geef een bewijs of een tegenvoorbeeld.
a. Als X een Hausdorff ruimte is dan geldt f = g.
b. Als Y een Hausdorff ruimte is dan geldt f = g.
c. Bewijs dat elke niet-lege aftelbare volledige metrische ruimte geı̈soleerde punten heeft.
d. Geef een voorbeeld van een functie f : R → R zodat |f (x) − f (y)| < |x − y| voor alle
x, y ∈ R met x 6= y en f toch geen dekpunt heeft.
3. Laat S de rechte van Sorgenfrey zijn. Beschouw het vlak van Sorgenfrey S × S. De
topologie op S × S wordt gegenereerd door de basis {[a, b) × [c, d) : a < b, c < d}.
a. Toon aan dat S × S eerste aftelbaar is.
b. Toon aan dat S × S niet tweede aftelbaar is.
c. Toon aan dat S × S separabel is.
d. Toon aan dat S × S niet erfelijk separabel is, dwz. S × S bevat een deelruimte die niet
separabel is.
EINDE
1