TOPOLOGIE deeltentamen 1 Vrije Universiteit Faculteit der

TOPOLOGIE deeltentamen 1
Vrije Universiteit
Faculteit der Exacte Wetenschappen
Afdeling Wiskunde
De Boelelaan 1081a, Amsterdam
Elke goedgemaakte opgave levert één punt op.
‘Goedgemaakt’ wil zeggen: correct, volledig beargumenteerd en netjes opgeschreven. Inleveren uiterlijk
op 14 november 2008. Samenwerken mag; lever dan
per team één stel oplossingen in.
1. Een deelverzameling A van een topologische ruimte X heet regulier open als A = int A
en regulier gesloten als A = int A. De verzameling A heet nergens dicht als int A = ∅.
a. Toon aan dat A regulier gesloten is dan en slechts dan als X \ A regulier open is.
b. Toon aan dat het inwendige van een gesloten verzameling regulier open is.
c. Ga na of de doorsnede en vereniging van twee regulier open verzamelingen weer regulier
open is. (‘Ja’ vergt een bewijs, ‘Nee’ vergt een expliciet tegenvoorbeeld.)
d. Toon aan dat de vereniging van twee nergens dichte verzamelingen weer nergens dicht
is.
2. Laat (X, d) een metrische ruimte zijn.
a. Als er een r > 0 bestaat zodat voor elke x ∈ X de deelruimte B[x, r] volledig is, toon
dan aan dat X volledig is.
b. Als gegeven is dat voor elke x ∈ X er een r > 0 bestaat zodat B[x, r] volledig is, is
dan X zelf noodzakelijk volledig? (Geef een bewijs of een tegenvoorbeeld.)
c. Laat (X, d) volledig zijn en zij f : X → X een functie. Als de compositie f n =
f ◦ f ◦ · · · ◦ f een contractie is voor zekere n ∈ N, toon aan dat f precies één dekpunt
heeft.
d. Geef een voorbeeld van een functie g : R → R die geen dekpunt heeft maar wel de
eigenschap heeft dat |g(x) − g(y)| < |x − y| voor alle x, y ∈ R met x 6= y.
3. Laat X een topologische ruimte zijn en definiëer een relatie op X door x ∼ y dan en
slechts dan als er geen losse verzameling C in X bestaat met x ∈ C en y ∈ X \ C. Een
verzameling heet los als hij zowel open als gesloten is.
a. Bewijs dat ∼ een equivalentierelatie is. De equivalentieklassen van ∼ heten de quasicomponenten van X.
b. Toon aan dat elke quasicomponent gesloten is.
c. Laat p ∈ X. Toon aan dat de component Cp van X die p bevat een deelverzameling
is van de quasicomponent Qp van X die p bevat.
d. Geef een voorbeeld van een deelruimte X van R2 en een punt p ∈ X zodat Cp 6= Qp .
EINDE
1