Lineaire Algebra 1

Lineaire Algebra 1
Bachelor wiskunde jaar 1
Tussentoets
Datum: 22 Oktober, 2014
Tijd: 13.00-16.00
Aantal pagina’s: 3 (inclusief voorblad)
Aantal vragen: 5
Maximum aantal te behalen punten: 100
Bij iedere vraag staat vermeld hoeveel punten hij waard is.
VOORDAT U BEGINT
• Controleer of uw versie van het tentamen compleet is.
• Schrijf uw naam en studentnummer en indien van toepassing versienummer op elk vel papier
dat u inlevert en nummer de pagina’s.
• Uw mobiele telefoon moet uit staan en in uw jas of tas zitten. Uw jas en tas moeten op de
grond liggen.
• Toegestane hulpmiddelen: kladpapier. Overige hulpmiddelen zijn niet toegestaan.
HUISHOUDELIJKE MEDEDELINGEN
• De eerste 30 minuten mag u de zaal niet verlaten, ook niet voor het bezoeken van het toilet.
• 15 minuten voor het eind wordt u gewaarschuwd dat het inlevertijdstip nadert.
• Vul na afloop van het tentamen het evaluatieformulier in, indien van toepassing.
• U bent verplicht zich op verzoek van de examinator (of diens vertegenwoordiger) te kunnen
legitimeren met een bewijs van inschrijving en een geldig legitimatiebewijs.
• Tijdens het tentamen is toiletbezoek niet toegestaan, tenzij de surveillant hier toestemming voor
geeft.
Succes!
Puntentelling
Je krijgt tien punten gratis, de overige 90 kan je scoren in de vijf opgaven hieronder. In Opgave 1
betekent een incorrect antwoord meteen geen punten voor dat onderdeel, waarbij (a) als vijf onderdelen
wordt gezien. Werk dus netjes en controleer je antwoorden zorgvuldig! Tot slot: overal waar je in dit
tentamen elementaire rijoperaties toepast, schrijf er duidelijk bij welke dit zijn. Veel succes! - J.H.B.
1. Elementaire vaardigheden (25 punten)
Gegeven de matrix A ∈ R3×3 en de vector b ∈ R3 ,


1 2 3
A =  2 4 6  en
3 6 9


−1
b =  1 .
1
(a=1+1+1+1+1) Bereken de volgende vijf producten:
b> b,
bb> ,
Ab,
b> A,
A> b.
(b=5) Bereken een y ∈ R3 waarvoor geldt dat A = yy > .
Deze y kan je eventueel handig gebuiken bij de komende drie onderdelen, maar het hoeft niet.
(c=5) Bepaal alle oplossingen x ∈ R3 van het stelsel eerstegraadsvergelijkingen Ax = b.
(d=5) Bepaal een basis voor de nulruimte N (A) = {x ∈ R3 | Ax = 0} van A.
(e=5) Bepaal een basis voor de kolomruimte C(A) = {Ax | x ∈ R3 } van A.
2. Vectorruimtes en hun axioma’s (15 punten)
Een reële vectorruimte V is een verzameling met een optelling die de volgende eigenschappen heeft:
(A) associativiteit;
(C) commutativiteit;
(N) neutraal element;
(T) tegengesteld element.
Ook is een vermenigvuldiging met een reële scalar gedefinieerd, met eigenschappen
(D1) distributiviteit 1; (D2) distributiviteit 2; (G) gemengde associativiteit; (C1) coëfficiënt 1.
(a=4) Geef van eigenschappen (A)(C)(N) en (T) in logische symbolen exact weer wat ze inhouden.
Laat nu V een reële vectorruimte zijn.
(b=5) Bewijs dat een reële vectorruimte V precies één neutraal element 0V heeft.
Laat λ ∈ R met λ 6= 0 gegeven zijn, en laat v ∈ V met v 6= 0V .
(c=6) Bewijs dat λv 6= 0.
Let op: Je mag alleen gebruik maken van de axioma’s voor reële vectorruimtes; geef daarnaast bij
iedere stap aan welk vectorruimteaxioma je op welke manier gebruikt!
3. Een dimensiestelling (10 punten)
Laat V een eindigdimensionale reële vectorruimte zijn met deelruimtes U en W . Stelling 3.49 uit
Lineaire Algebra van Paul Igodt & Wim Veys zegt dat
dim(U + W ) + dim(U ∩ W ) = dim(U ) + dim(W ).
Geef een bewijs van deze stelling in het speciale geval dat dim(U ) = dim(W ) = 3 en dim(U ∩W ) = 2.
2
4. Een lineaire deelruimte met twee basissen (20 punten)
Beschouw de vectorruimte R2×2 van reële 2 × 2 matrices. We definiëren voor X ∈ R2×2 de gepuntspiegelde matrix X ◦ als volgt
◦ a b
d c
=
.
c d
b a
Definieer nu S ⊂ R2×2 als de verzameling
S = X ∈ R2×2 | X ◦ = X ,
(1)
die dus bestaat uit alle 2 × 2 matrices die gelijk zijn aan hun gepuntspiegelde.
(a=4) Bewijs dat S een lineaire deelruimte is van R2×2 .
Gegeven zijn de verzamelingen β = {S1 , S2 } en γ = {T1 , T2 } bestaande uit
1 0
0 1
2 1
1
S1 =
,
S2 =
en T1 =
,
T2 =
0 1
1 0
1 2
2
2
1
.
(b=3+3) Bewijs dat zowel β als γ een basis is voor S.
Uit (a) en (b) volgt dat S uit (1) een tweedimensionale vectorruimte is met bases β en γ.
Je kan nu de identieke afbeelding Id : S → S : s 7→ s gebruiken om onderdelen (c) en (d) te maken.
(c=5) Bepaal de matrix van basisverandering van β naar γ.
(d=5) Bepaal de matrix van basisverandering van γ naar β.
Als je de antwoorden bij (c) en (d) omwisselt kan je maximaal nog maar 4 van de 10 punten scoren!
5. De matrix van een bijectieve afbeelding (20 punten)
Laat R1×3 de vectorruimte van 1 × 3 matrices zijn, en R[X]≤2 de vectorruimte van polynomen van
graad twee en lager. Definieer de afbeelding
h
i
R
L : R[X]≤2 → R1×3 : p 7→ 2p(0) p0 (1) 6 01 p(t)dt .
(2)
Laat r ∈ R[X]≤2 gedefinieerd zijn door r : R → R : X 7→ 1 + X + X 2 .
(a=2) Bepaal L(r).
(b=5) Is L een lineaire afbeelding? Zo ja, geef een bewijs, en zo nee, laat zien waarom niet.
Schrijf β voor de standaardbasis van R[X]≤2 en γ voor de basis {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} van R1×3 .
Laat coβ en coγ de respectievelijke bijbehorende coördinaatafbeeldingen zijn.
(c=3) Geef domein en codomein van coβ en coγ en bereken coβ (r) en coγ (L(r)).
(d=5) Bepaal de matrixvoorstelling Lγβ van L ten opzichte van β en γ.
(e=5) Bewijs dat L bijectief is.
3