1 Wiskunde AEO I Proeftentamen Dit tentamen bestaat uit

1
Wiskunde AEO I
Proeftentamen
Dit tentamen bestaat uit vijf vragen. Wees precies. Vermeld welke stellingen je gebruikt, en verifieer van
elke stelling die je gebruikt eerst de veronderstellingen. Een antwoord is geheel fout als er geen argumenten
worden gegeven. Voorbeelden of tekeningen gelden niet als argumenten. 10 punten zijn gratis. Elke
deelvraag (a, b, c, ...) levert, juist beantwoord, 5 punten op, tenzij iets anders vermeld is.
Opgave 1.
(10 punten) Bewijs met volledige inductie dat als x 6= y, dat dan
m
∑ x j ym−j =
j=0
Opgave 2.
voor alle
m ∈ N, m ≥ 1.
Voor welke x ∈ R geldt dat
|x − 4| >
Opgave 3.
x m+1 − ym+1
x−y
1
x − 1.
2
Laat x, y ∈ R aan de volgende voorwaarden voldoen: − π2 < x <
π
2,
0 < x+y <
π
2.
a Druk
tan(x + y) − tan x
uit in termen van sin x, cos x, sin y en cos y.
b Laat zien dat uit het resultaat dat je bij a hebt verkregen volgt dat de functie f : (− π2 , π2 ) → R,
gegeven door f (x) = tan x, monotoon stijgend is.
c Is f continu?
d Geef de definitie van
lim g(x) = ∞.
x↑a
e (10 punten) Laat met behulp van de definitie zien dat
lim
tan x = ∞.
π
x↑ 2
f (10 punten) Laat zien dat f elk reëel getal als waarde aanneemt.
Laat a, b ∈ R twee reële getallen zijn. We kijken naar het functievoorschrift

(x − 1)(x − a) als x ≤ −1


f (x) =
x+1


als x > −1
x2 + 2bx + 3
Opgave 4.
2
a (10 punten) Voor welke a, b ∈ R is er een functie f : R → R met dit voorschrift? (Dat wil zeggen:
voor welke a, b is f : R → R met het voorschrift f (x) een goed gedefinieerde functie?)
b (10 punten) Voor welke a, b ∈ R is f continu?
c Schets de grafiek van f voor een tweetal a, b welk je onder b hebt gevonden.
Opgave 5.
Bereken de volgende limieten:
a Als a ∈ R een reëel getal is:
(a + 3x)4 − 81x4
.
x→−∞
x3
lim
b
lim
x→0
r
1
1
1
1+ 2 + 4 − 2
x
x
x
!
.