Serie 2 - Bliggy

OPGAVEN BIJ BASISWISKUNDE 2015, COLLEGE 2
Opgaven voor het tutoraat en werkcollege
Opgave 0.
(a) Zij n een geheel getal. Bewijs dat als n2 deelbaar is door 3, dat n dan ook
deelbaar is √
door 3.
(b) Bewijs dat √3 geen
√ rationaal getal is.
(c) Bewijs dat 2 + 3 geen rationaal getal is.
Opgave 1. In deze opgave is het universum R.
(a) Schrijf in woorden: ∀x, ∃y, ∃z, (y ∈ Z) ∧ (z ∈ Z) ∧ (y ≤ x) ∧ (x ≤ z) . Is
deze uitspraak waar?
(b) Schrijf in symbolen: er bestaat een reëel getal dat groter is dan elk ander
reëel getal. Is deze uitspraak waar?
(c) Schrijf in symbolen: elk reëel getal is willekeurig goed te benaderen met
rationale getallen.
Opgave 2. Geef een beschrijving van de volgende verzamelingen.
(a) {x ∈ Z : ∃y, (y ∈ Z ∧ x = 2y)}
(b) {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1}
Schrijf in verzamelingnotatie.
(c) De verzameling van alle gehele getallen die te schrijven zijn als de som van
twee kwadraten (van gehele getallen).
(d) De verzameling van allle punten in het vlak die op het vierkant liggen met
hoekpunten (1, 1), (−1, 1), (1, −1) en (−1, −1).
Opgave 3.
(a) Zij x ∈ R. Bewijs dat −|x| ≤ x ≤ |x|.
(b) Laat a ≥ 0. Bewijs dat |x| ≤ a dan en slechts dan als −a ≤ x ≤ a.
(c) Gebruik deze twee beweringen om de driekhoeksongelijkheid te bewijzen:
voor alle x, y ∈ R geldt |x + y| ≤ |x| + |y|.
Opgave 4. Zij A, B, C verzamelingen. Bewijs dat A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
Opgave 5. Zij A, B, X verzamelingen met A ⊆ X en B ⊆ X. Bewijs dat
X \ (A ∪ B) = (X \ A) ∩ (X \ B).
Huiswerk (inleveren maandag 12 september)
Opgave 6. Schrijf in verzamelingnotatie.
(a) De verzameling van alle punten in het vlak op de cirkel om de oorsprong met
straal 2.
(b) De verzameling van priemgetallen.
Extra
Opgave 7. Bewijs dat voor x, y ∈ R geldt |x − y| ≥ |x| − |y|.