Toets wiskunde D online module Complexe getallen Schrijf steeds

Toets wiskunde D online module Complexe getallen
Schrijf steeds een duidelijke berekening op. Veel succes!
Opgave 1: derdegraads vergelijking
Gegeven is de vergelijking 𝑦𝑦 3 + 6𝑦𝑦 + 7 = 0
2p a Op het formuleblad vind je de formule van Cardano.
Leid met behulp van deze formule af dat 𝑦𝑦 = −1 een oplossing van deze vergelijking is.
Uit 𝑦𝑦 3 + 6𝑦𝑦 + 7 = (𝑦𝑦 + 1)(𝑦𝑦 2 − 𝑦𝑦 + 7) en de abc-formule volgt dat 𝑦𝑦 =
oplossingen zijn.
3p b Toon door substitutie aan dat 𝑦𝑦 =
1+3√−3
2
1±3√−3
2
de andere
inderdaad een oplossing is van 𝑦𝑦 3 + 6𝑦𝑦 + 7 = 0
Opgave 2: complexe vlak
Teken in het complexe vlak alle getallen z waarvoor geldt:
2p a Re(z) + Im(z) = 2
1
2
2p b |𝑧𝑧| = 4 en 𝜋𝜋 ≤ arg(𝑧𝑧) ≤ 𝜋𝜋
Opgave 3: herleidingen
3p a Herleid tot de vorm 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 ∙ 𝑖𝑖
2+𝑖𝑖
1+𝑖𝑖
3p b Schrijf met poolcoördinaten. Geef exacte waarden.
𝑧𝑧 = −√3 + 𝑖𝑖
Opgave 4: De Moivre
4p Gegeven het getal (2√3 − 2𝑖𝑖)6
Dit is een reëel getal. Laat door herleiding zien welk reëel getal.
Opgave 5: een complexe vergelijking
6p Los op in ℂ ; schrijf de oplossingen in de vorm 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 ∙ 𝑖𝑖
𝑧𝑧 6 = −64
Opgave 6: diagonalen in een vierkant
5p. Bekijk een vierkant, stel de lengte van de zijde 1. Breng in een van de hoekpunten de oorsprong
van het complexe vlak aan en noem de andere hoekpunten a, b en c.
Bewijs m.b.v. complexe getallen dat de twee diagonalen van het vierkant elkaar loodrecht
snijden.
---30p
Einde!!!
Formuleblad bij toets complexe getallen
Van een derdegraads vergelijkingen van de gedaante
𝑥𝑥 3 = 𝑝𝑝𝑝𝑝 + 𝑞𝑞
wordt een oplossing gegeven door de formule van Cardano:
3
1
1 2 1 3 3 1
1
1
�
�
𝑥𝑥 =
𝑞𝑞 +
𝑞𝑞 − 𝑝𝑝 + � 𝑞𝑞 − � 𝑞𝑞 2 − 𝑝𝑝3
2
4
27
2
4
27