Getaltheorie

Getaltheorie
Trainingsweekend, 17 februari 2008
Definitie: Voor een priemgetal p en een positief geheel getal n is ep (n) het aantal factoren
p dat voorkomt in de priemfactorisatie van n.
Rekenregels:
• ep (n + m) ≥ min(ep (n), ep (m)) met gelijkheid dan en slechts dan als ep (n) 6= ep (m).
• ep (nm) = ep (n) + ep (m).
• ep (nl ) = l · ep (n).
Definitie: Het aantal delers van een positief geheel getal n noemen we τ (n).
Opgave 1 Bewijs voor alle positieve gehele getallen a en b:
• a | b dan en slechts dan als ep (a) ≤ ep (b) voor alle priemgetallen p;
• b is een macht van a dan en slechts dan als er een positieve gehele k bestaat zodat
kep (a) = ep (b) voor alle priemgetallen p.
Opgave 2 Bekijk drietallen (x, y, z) van positieve gehele getallen waarbij z een macht is
van zowel x als y. Bewijs of weerleg: voor al zulke drietallen geldt
(a) x + y is even.
(b) van de getallen x en y is er één een veelvoud van de ander.
(c) van de getallen x en y is er één een macht van de ander.
(d) er is een getal v waarvan zowel x als y een macht is.
Opgave 3 Zij n een positief geheel getal. Bewijs dat
Y
τ (n) =
(ep (n) + 1).
p priem
Opgave 4 Zij a en b positieve gehele getallen met τ (a) = 99 en τ (b) = 105. Kan het zo
zijn dat τ (ab) = 150?
1
Opgave 5 Bepaal alle positieve gehele getallen n zo dat 2n2 en 3n2 respectievelijk 24 en
28 delers hebben.
Opgave 6 Vind alle paren van gehele getallen (m, n) met m > n ≥ 0 zodat
m 2n
(2m − 2n )2
n
m
= (2m )2 (2n )2 .
Opgave 7 Bepaal alle positieve gehele getallen n met n = τ (n)2 .
Opgave 8 Zij n een positief geheel getal. Bewijs dat

2
X
X
τ 3 (d) = 
τ (d) .
d|n
d|n
Opgave 9 Bepaal alle paren positieve gehele getallen (a, b) waarvoor geldt
2a2 = 3b3 .
Opgave 10 Bepaal alle positieve gehele getallen n met ϕ(n) = γ(n)2 , waar ϕ de Euler-ϕfunctie is en
Y
γ(n) =
p
p|n priem
(het product loopt over de priemfactoren p van n).
Opgave 11 Bepaal alle paren (a, b) van positieve gehele getallen zodat
2
a(b ) = ba .
2