Examen Lineaire Algebra - Wetenschappelijke Kring

Examen Lineaire Algebra
Faculteit Ingenieurswetenschappen
1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen
en verkorte programma’s
1ste zittijd
22 januari 2013
N.B.: Begin elke vraag op een nieuw blad. Schrijf op elk blad je naam en vermeld je groep. Gelieve
duidelijk te maken welke vraag je beantwoordt. Lees de vragen aandachtig, verklaar elke stap en
schrijf duidelijk!
1. Beschouw de lineaire afbeelding f : R3 [X] → R2 [X] : P (X) 7→ 3P (X)−XP 0 (X)+P 00 (X).
(a) Bepaal Ker(f ); geef een basis voor deze ruimte, alsook haar dimensie.
(b) Bepaal Im(f ); geef een basis voor deze ruimte, alsook haar dimensie.
(c) Gegeven de deelruimte A = {P (X) ∈ R3 [X] | P 0 (0) = 0} van R3 [X]. Beschouw de
afbeelding f |A , dit is de beperking van f tot de ruimte A. Toon aan dat f |A bijectief is
en bepaal zijn inverse.
2. Zij

1
 0
Ap = 
 0
0

0 0
0
1 0
p 
,
0 −1 0 
p 0 −1
waarbij p ∈ R. De eigenruimte behorende bij een eigenwaarde λ ∈ R van Ap noteren we Eλ .
(a) Bewijs dat, indien p 6= 0, Ap steeds 2 verschillende negatieve reële eigenwaarden heeft.
(b) Bewijs dat, indien p 6= 0, dim(E1 ) = dim(E−1 ) = 1. Geef een basis van E1 in dit geval.
(c) Zij nu p = 0. Bepaal dim(E1 ) en dim(E−1 ). Geef een basis van E−1 in dit geval.
(d) Bepaal alle p ∈ R waarvoor Ap de matrix is van een orthogonale transformatie in R4
(voor het standaard inwendig product).
3. Gegeven de C-vectorruimte C2 [X] = {z0 + z1 X + z2 X 2 |z0 , z1 , z2 ∈ C}. Beschouw nu de
volgende afbeelding
h, iα : C2 [X] × C2 [X] → C ;
2
2
X
X
i
(
zi X ,
zi0 X i ) 7→ z0 z00 + z1 z10 + αz2 z20 ,
i=0
i=0
waarbij α ∈ C.
(a) Voor welke waarde(n) van α is h, iα sesquilineair?
(b) Voor welke waarde(n) van α is h, iα toegevoegd symmetrisch?
(c) Voor welke waarde(n) van α is h, iα positief definiet?
Beschouw nu, voor het vervolg van deze vraag, de prehilbertruimte (C2 [X], h, i1 ) (zelfde
notatie als hierboven). Zij f : C2 [X] → C2 [X] de C-lineaire afbeelding bepaald door:
f (1) = X
;
f (X) = 1
;
f (X 2 ) = iγX 2 ,
waarbij γ ∈ C.
(d) Voor welke waarde(n) van γ is f een unitaire afbeelding?
4.
(a) Bepaal in de euclidische ruimte R3 (met standaard inwendig product) het voorschrift
van de isometrie f (i.e. bepaal A ∈ M3,3 (R) en B ∈ M3,1 (R) zodat f (X) = AX + B),
die de samenstelling is van de orthogonale spiegeling ten opzichte van het vlak V met
vergelijking 2x − y + z = 6, gevolgd door een rotatie over een hoek 3π
om de rechte l
2
door de oorsprong, loodrecht op dit vlak.
om de rechte l en vervolgens orthogonaal spiegelen
(b) Als we eerst roteren over een hoek 3π
2
ten opzichte van het vlak V , wat is dan het voorschrift van de aldus bekomen isometrie?
Verklaar je antwoord!
Elke vraag staat op 5 punten. Veel succes!