wiskunde II examen 2007

 2
0
0
1 

 
 
 
 
I.
Gegeven de lijnen l b : x  1     2  , m : x  1    1  en
0
1 
 2
 b
 
 
 
 
het vlak V: 2y + z = 1, waarbij b  R
[ 3]
a. Toon aan dat l b en m voor elke b  1 kruisen.
[ 6]
b. Bepaal b als d( l b , m) = 2.
[ 7]
c. Neem b = 0.
Bepaal het vlak W dat l0 bevat en een hoek  maakt met V zodat
1
cos  =
.
5

4
 0
 
 
II.
Gegeven is de lijn l : x    1   1  , het vlak V : x – y = – 2 en de bol
0
 0
 
 
B1 : ( x – 2)2 + ( y + 1)2 + z2 = 4.
[ 2]
a. Bepaal de onderlinge ligging van B1 en l.
[ 2]
b. Bepaal het raakvlak aan B1 dat l bevat.
[12] c. Bol B2 gaat door het punt A(1, 2, 0), raakt l in het punt B(4, – 1 , 0) en snijdt
V volgens een cirkel met straal 1. Bepaal een vergelijking van bol B2.

III.
[ 4]
x 2 ( y  1) 2
 1.
+
3  p2
p
a. Voor welke waarde(n) van p is Kp een hyperbool.
Gegeven de kromme Kp :
Neem bij de volgende onderdelen steeds p = 2.
[ 6]
[ 8]
b. Bepaal de toppen, de brandpunten en de asymptoten van Kp.
c. Bepaal de punten van de kromme Kp waar de raaklijn een r.c. = 1 heeft
Pagina 1
IV.
[ 6]
 0

De lineaire afbeelding A : R3  R3 is gegeven door de matrix  p
 6

 1
1 


 
 
De vectoren a  1 en b   2  zijn eigenvectoren van A.
 1
  4
 
 
q
0
5
a. Bereken p, q en r.
Neem bij de volgende onderdelen steeds p = 0, q = 1 en r = 2.
[ 5]
[ 5]
b. Bepaal de matrix van Ainv.
c. Bepaal een vectorvoorstelling van het volledig A – origineel van de lijn :
1
1 

 
 
x  1    3 
1
9
 
 
[ 4]
d. Bepaal het volledig A – origineel van vlak V : x + 2y + z = 5
V.
[ 6]
Voor elke p  R en elke q  R is de lineaire afbeelding Ap,q gedefiniëerd
q
p
p

1
door de matrix :   q
p
p  . Verder zijn gegeven de vlakken
3
p  q 
p
 1 
b

 
 
Va,b : x + ay + 2z = b en de lijnen la,b : x    2     a  .
 1 
1 
 
 
is orthogonaal.
a. Bereken p en q.
Neem bij de volgende onderdelen steeds p = 2 en q = 1.
[ 2]
[10]
[ 2]
inv
b. Bepaal A 2,1
c. Het A – beeld van vlak Va,b bevat la,b. Bereken a en b.
d. Neem a = 1 en b = 2 en bepaal sin   AV1,2 , Al1, 2  .
Cijfer =
score  10
10
Succes
Pagina 2
0

1
r 