Tentamen Lineaire Algebra 2 wi2314MT

Technische Universiteit Delft
Faculteit Informatietechnologie en Systemen
Mekelweg 4
2628 CD Delft
Tentamen Lineaire Algebra 2
wi2314MT
donderdag 27 juni 2002, 14.00 - 17.00 uur
het gebruik van een rekenmachine is toegestaan
1. Beschouw de matrices


−1 −1
0
1
4 ,
A= 5
−1
1 −2
(2 pt)
(2 pt)
(2 pt)
(2 pt)
(a)
(b)
(c)
(d)


−2 0 0
B= 0 0 1 
0 0 0


1 −1 0
1 1 .
en P =  1
−2
1 0
Bereken de eigenwaarden van A.
Bepaal (zo mogelijk) een LU -ontbinding van A.
Toon aan dat A niet diagonaliseerbaar is.
Toon aan dat A = P BP −1 .

(2 pt)
(e) Bepaal de oplossing van xk+1

1
= Axk , k = 0, 1, 2, . . . met startvector x0 =  1 .
1
2. Beschouw het volgende stelsel gekoppelde differentiaalvergelijkingen
 0

 x1 (t) = −2x1 (t)
x02 (t) =
x1 (t) − x2 (t) + 2x3 (t)

 0
x3 (t) =
3x1 (t) − 2x2 (t) − x3 (t) .
Dit stelsel kan geschreven worden in de vorm

x0 (t) = Ax(t)
(2 pt)
(3 pt)
(2 pt)

x1 (t)
met x(t) =  x2 (t) 
x3 (t)

en

−2
0
0
2 .
A =  1 −1
3 −2 −1
(a) Bereken de (complexe) eigenwaarden van de matrix A.
(b) Bepaal de algemene (reële) oplossing x(t) van het stelsel differentiaalvergelijkingen.
(c) Bepaal de (reële) oplossing van het beginwaardeprobleem :
x0 (t) = Ax(t),
x1 (0) = 1,
x2 (0) = 0
en x3 (0) = 1.
3. Iedere (m × n)-matrix A met rank A = r kan geschreven worden in de vorm A = U ΣV T
met U een orthogonale (m × m)-matrix, V een orthogonale (n × n)-matrix en Σ een
(m × n)-matrix, waarvan de eerste r diagonaalelementen gelijk zijn aan σ1 , σ2 , . . . , σr
met σ1 ≥ σ2 ≥ . . . ≥ σr > 0 en de rest nul.
(3 pt)
(2 pt)
(a) Toon aan dat de symmetrische matrices AT A en AAT dezelfde eigenwaarden hebben als A vierkant is (dus als m = n).
(b) Als n > m dan heeft AT A meer eigenwaarden dan AAT (geteld met multipliciteit).
Welk verband bestaat er in dat geval tussen de eigenwaarden van AT A en AAT ?
Beargumenteer uw antwoord.




10 −1 2
10
4. Beschouw de matrixvergelijking Ax = b met A =  −1 10 0  en b =  19 .
2
0 10
12
(3 pt)
(3 pt)
(a) Voer op Ax = b 
drie slagen
uit van de methode van Jacobi. Gebruik hierbij als

0
startvector x0 =  0 .
0
slagen
(b) Voer op Ax = b drie 
 uit van de methode van Gauss-Seidel. Gebruik hierbij
0
als startvector x0 =  0 .
0
5. Gegeven zijn de volgende kwadratische vormen op R3 :
Q1 (x) = 2x1 x2 + 4x1 x3 + 6x2 x3
en
Q2 (x) = 4x21 + 4x22 + 4x23 − 2x1 x2 − 2x1 x3 − 2x2 x3 .
(2 pt)
(2 pt)
(2 pt)
(2 pt)
(a) Is de kwadratische vorm Q1 positief/negatief (semi)definiet of indefiniet? Beargumenteer uw antwoord.
(b) Is de kwadratische vorm Q2 positief/negatief (semi)definiet of indefiniet? Beargumenteer uw antwoord.
(c) Bepaal het maximum M van Q2 (x) onder de voorwaarde dat xT x = 1 en bepaal
een eenheidsvector x zodat Q2 (x) = M .
(d) Bepaal het minimum m van Q2 (x) onder de voorwaarde dat xT x = 1 en bepaal
een eenheidsvector x zodat Q2 (x) = m.