Tentamen Toegepaste Lineaire Algebra, 15 augustus 2005

Tentamen Toegepaste Lineaire Algebra, 15 augustus 2005, tijdsduur 3 uur.
Motiveer steeds je antwoord.


1 2
0

1. (30 punten) Gegeven is de matrix A =  6 5 −8 
.
4 4 −5
i. Voor welke waarde(n) van x is [ 1 x 0 ]> een eigenvector van A ?
ii. Bepaal de Jordanvorm J van A.
iii. Geef een matrix S zo dat S −1 AS = J.
iv. Bepaal de Jordanvorm Jk van Ak voor alle gehele k ≥ 1.
v. Beschouw het dynamisch proces gedefinieerd door xt+1 = αAxt . Bepaal alle α ∈ IR
waarvoor dit proces een onstabiele stationaire toestand heeft.
"
#
2
1
2. (15 punten) Gegeven is de matrix B =
.
−5 −2
i. Bepaal de eigenwaarden van B met bijbehorende eigenvectoren.
ii. Geef de meetkundige interpretatie van de door B bepaalde lineaire afbeelding.
3. (10 punten) Gegeven is een singuliere 4 × 4 matrix A, waarvan het spoor gelijk is aan 0.
Bewijs dat A4 ∈ Span{A, A2 }.
4. (15 punten) Bepaal de algemene (reële) oplossing van de lineaire differentievergelijking
xk − 2xk−1 + 4xk−2 = 10. Bepaal tevens de oplossingen waarvoor x0 = 0 en x1 = 1.
5. (10 punten) Beschouw de kwadratische vorm x> Ax, met


α 2
0
1 
A=
 2 α
.
0 1 −1
Voor welke waarde(n) van α is deze vorm negatief definiet?
6. (10 punten) Gegeven is een symmetrische matrix M waarvan alle rijsommen gelijk zijn
aan 1. Laat v een eigenvector zijn van M , waarvoor M v 6= v. Bewijs dat de som van
de coördinaten van v gelijk is aan 0.
7. (10 punten) Gegeven een m × n matrix A, en een vector b ∈ IRm . Geef een criterium
dat aangeeft wanneer het stelsel Ax = b een oplossing x = [ x1 . . . xn ] heeft die
voldoet aan x1 + . . . + xn ≤ 0.