Opgave

Huiswerkopgaven II
Opmerking
Lineaire Algebra, 2009
In onderstaande geven we met T het transponeren van een matrix aan, zodat, bijvoorbeeld


x1
(x1 , x2 , x3 )T =  x2 
x3
een kolomvector wordt. Elementen van Rn worden als kolomvectoren genoteerd.

−1
0

 −1 −1
Opgave 1. Gegeven is de lineaire transformatie A van R met matrix 
 3
1

0 −1
Bepaal de kern en het bereik van A.
4
−4
−2
10
2
−1


1 
.
1 

2
Opgave 2. Gegeven is een lineaire afbeelding B waarvan de beelden van de vectoren ~x = (1, 0, 1)T ,
~y = (0, 1, 1)T en ~z = (1, 1, 0)T gelijk zijn aan (1, 2, 3)T , (−1, 0, 2)T en (2, 0, −1)T respectievelijk.
a) Bepaal de matrix voor B.
b) Wat is het beeld van ~u = (1, 2, 3)T ?
c) Schrijf ~u als lineaire combinatie van ~x, ~y,~z en laat zien dat je daar ook eenvoudig het beeld B~u uit
bepaalt.
Opgave 3.
a) Geef een matrix C die een lineaire transformatie van R3 bepaalt waarvoor geldt dat de vector
(1, 1, 1)T zowel in de kern als in het bereik zit, terwijl het bereik dimensie 2 heeft.
b) De rang van C 2 hangt niet af van de keuze die je in a) gemaakt hebt. Laat dat zien, en geef die
rang.
Opgave 4.
tievelijk.
Gegeven zijn de twee lijnen ` en m in R2 opgespannen door (1, 1)T en (1, −1)T , respec-
a) Geef de matrix S` die van een vector in R2 zijn spiegelbeeld in ` geeft, met de methode van het
voorbeeld onder aan blz. 18 van het dictaat.
b) Net zo voor Sm , maar nu door de beelden van de basisvectoren te gebruiken als in het voorbeeld
op blz. 19.
c) Bepaal, door matrixvermenigvuldiging, de matrix S van de afbeelding die eerst in ` spiegelt en
daarna in m.
d) Wat stelt deze samengestelde afbeelding meetkundig voor, en welke eigenschap van ` en m zorgt
hier voor?